a1,...,anをRnの基底とする時、 a1 +a2,a1 +a3,...,a1+an(n>=3)

a1,...,anをRnの基底とする時、
a1 +a2,a1 +a3,...,a1+an(n>=3)は一次独立であることを示してください。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/02 16:13

x1(a1+a2)+x2(a1+a3)+…+x(n-1)(a1+an)=0

とすると

x1a1+x1a2+x2a1+x2a3+…+x(n-1)a1+x(n-1)an=0

(x1+x2+…+x(n-1))a1+x1a2+x2a3+…+x(n-1)an=0

(a1,…,an)はRnの基底で1次独立だから

x1=x2=…=x(n-1)=0

∴
a1 +a2,a1 +a3,...,a1+an(n>=3)は一次独立である