線形漸化式の同次解を求めてください。

an+3 − 6an+2 + 12an+1 − 8an = 0, a0 = 0, a1 = 1, a2 =4(n = 0, 1, 2, ···) (三重根)

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/16 21:17

問題文に「三重根」て書いてあるのは、ヒントなのか、ギャグなのか...

同次線形漸化式 a[n+3] − 6a[n+2] + 12a[n+1] − 8a[n] = 0 の一般解は、
特性方程式 x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 0 を解いて x = 2 (三重根) より
a[n] = A(2^n) + Bn(2^n) + C(n^2)(2^n)　(A,B,Cは定数).
初期条件 n = 0,1,2 を代入すると
a[0] = 0 = A・1 + B・0 + C・0,
a[1] = 1 = A・2 + B・2 + C・2,
a[2] = 4 = A・4 + B・8 + C・16.
これを A,B,C の連立一次方程式として解くと、(A,B,C) = (0,1/2,0).
結局、初期値を満たす特殊解は、a[n] = (1/2)n(2^n).

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/07/16 19:26

a[n] = (2^(n-1))n