整数係数方程式の有理数解の照明でなぜ赤線のように pはanの約数と言えるんですか？ anがPの約数で

整数係数方程式の有理数解の照明でなぜ赤線のように
pはanの約数と言えるんですか？
anがPの約数である可能性はないんですか？

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/17 10:28

a(n)q^n=-p{a(n-1)q^(n-1)+…+a(1)qp^(n-2)+a(0)p^(n-1)}

素因数分解の一意性から
右辺のpの素因数は左辺のa(n)の素因数かqの素因数のどちらかに一致する
pとqは互いに素だから
pの素因数はqの素因数の中には存在しないから
pの素因数はすべて
a(n)の素因数となるから

pはa(n)の約数である

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/10 18:06

「p,qは互いに素」というのが効いている。

このため、p の約数は q の約数にはならない。
p が a_n・q^n の約数であることから、
p の約数は全て a_n の約数である。
その「約数」には、p 自身も含む。
つまり、p は a_n の約数である。

a_n が p の約数である「可能性は」もちろんあるが、
a_n が p の約数であるとは限らない。
上記のように p は a_n の約数だから、
a_n が p の約数である場合には a_n = p である。