(3x+4y)・21=810という式についてなのですが、 ①810は21の倍数でない。 ②21の約数

(3x+4y)・21=810という式についてなのですが、
①810は21の倍数でない。
②21の約数で810の約数でないものが存在する。
この2つの理由により、この式を満たす整数x,yの組は存在しないらしいのですが、なぜ①②の理由からこのようなことが言えるのでしょうか？
また、不定方程式が成り立つための条件はどういったものですか？

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます。
  理解できました！

    補足日時：2023/01/14 01:11

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2023/01/13 20:52

(3x+4y)*21=810 → (3x+4y)*7=270 とすれば 分かり易いでしょ。

270 は 7 の倍数ではないので x, y は整数にはなり得ない。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/13 19:03

その書き方でも良いのだけれど、

「x,y が整数なら (3x+4y)・21 は 7 の倍数だが、
　810 は 7 の倍数ではないから」
と言ったほうがわかりやすくない？

①②は、7を伏せてこれと同じことを言っている。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/01/13 18:10

「2つの理由」って書いてるけど, その「2つ」は同じじゃね?

あと「不定方程式が成り立つための条件」は日本語がおかしいな. まず「どんな不定方程式なのか」が不明だし, 「方程式が成り立つための条件」ってどういうものを想定するんだろう. 極論「解が存在すること」が「方程式が成り立つための条件」といえなくもないんだけど, そのこと自体は無意味だよなぁ.

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/13 17:23

(3x+4y)・21=810

xが整数,yも整数と仮定すると
3x+4y は整数だから
左辺は21の整数倍だから
右辺810も21の整数倍となって
810は21の整数倍でない事に矛盾するから
この式を満たす整数x,yの組は存在しない