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以下の偏微分方程式の解き方(正規形に変換)を教えて下さい.
(1)Uxx + 4Uxy + 4Uyy = 0

(2)Uxx - 4Uxy + 3Uyy = 0

(3)4Uxx - Uyy = 0

<解答>
(1)U=x f(2x-y)+g(2x-y)
(2)U=f(3x+y)+g(x+y)
(3)U=f(x+2y)+g(x-2y)

いずれの方程式もv=x+py, w=x+qyとおき
U(x,y)=U((qv-pw)/(q-p), -(v-w)/(q-p))=U(v,w)とし,
Ux, Uxy, Uyyw求めて元の方程式に代入して解こうとしましたが
うまくいきません.
よろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (1件)

Xの2次方程式


a・X^2+b・X+c=0 が二重解αをもつとき、
a・∂^2f/∂x^2+b・∂^2f/∂x∂y+c・∂^2f/∂y^2=0
を解くには、
u=α・x+y、v=x とおきます。

z=U(u、v)とする。
∂^2U/∂x^2+4・∂^2U/∂x∂y+4∂^U/∂y^2=0・・・(*) において、
u=-2x+y、v=x とおいて計算すると、
∂^2z/∂x^2=4・∂^2U/∂u^2ー4・∂^2U/∂u∂v+∂^2U/∂v^2、
∂^2z/∂x∂y=ー2・∂^2U/∂u^2+∂^2U/∂u∂v、
∂^2z/∂y^2=∂^2U/∂u^2.
を得ますから(*)に代入して整理すると、∂^2U/∂v^2=0となります。これを解いて、
まず、∂U/∂v=A(u)、さらにvで積分して、U=v・A(u)+B(u)
となります。(A、Bはuの任意の関数)

(2)、(3)も同様です。
(2)では、u=3x+y、v=x+y、(3)では、u=(1/2)x+y、v=(-1/2)x+yとおきます。
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この回答へのお礼

解き方が理解出来ました。
ありがとうございます。

お礼日時:2014/07/09 10:35

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