極方程式の同値変形

高校数学3の質問になります。
式と曲線の単元で志田晶先生の本を使って学習していますが、極方程式について以下のことが書かれていました。

「極方程式ｆ(r,θ)=0が極Ｏを通るとき、 rｆ(r,θ)=0 ⇔ f(r,θ)=0」

その後の問題でもこの性質を利用した解答だったのですが、一つだけ疑問が残る問題があります。

1/ r = 3cosΘ+2sinθ　

の直交座標の方程式への変換の際にいきなりｒを両辺に掛けているのですがこれはr≠0なので上の条件を満たしていないですよね。どう解釈すればいいでしょうか。独学で進めているので聞ける方が身近にいなくて困っています。ぜひご教授ください。

質問者からの補足コメント

• 

  すみません。私の解釈が間違っているのかもしれませんが
  
  極方程式ｆ(r,θ)=0が極Ｏを通る⇔ｆ(r,θ)=0で変数ｒがr=0となりうるときがある
  と解釈して
  r=0となりえないのならｒを掛けたり割ったりできないのでは？　と思っています。
  どこかに私の認識不足があるかと思いますが、、、
  
  
  1/ r = 3cosΘ+2sinθ　を　ｆ(r,θ)=3cosΘ+2sinθ-1/ r＝0としてｒ＝０とはならないのでは？
  と思い込んでしまっています。

    補足日時：2017/10/29 00:08

No.2 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/10/29 04:10

こんなもの ↓ が見つかったので, 回答意欲は激低下しましたが...

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

例えば, f(r, θ) = r - 1 = 0 を考えます.
この極方程式が表す曲線 C は, 極 O を中心とし, 半径 1 の円です.
曲線 C は極 O を通らず, rf(r, θ) = 0 ⇔ f(r, θ) = 0 も成り立ちません.
実際, rf(r, θ) = r(r - 1) = 0 → f(r, θ) = r - 1 = 0 は, 明らかに間違いです.
ただし, この場合は r = 0 となることが許される点に注意してください.

その本に書いてあるように,
極方程式 f(r, θ) = 0 が表す曲線が極 O を通るとき, rf(r, θ) = 0 ⇔ f(r, θ) = 0 は成り立ちますが,
だからといって,
極方程式 f(r, θ) = 0 が表す曲線が極 O を通らないとき, rf(r, θ) = 0 ⇔ f(r, θ) = 0 は成り立たない,
と決め付けていいのでしょうか.
命題の否定, 逆, 裏, 対偶などは, すでに習っていますよね.
確かに, 極方程式 f(r, θ) = 3cosθ + 2sinθ - 1/r = 0 が表す曲線は, 極 O を通りません.
ただし, 今回は先ほどと違って, r = 0 となることが許されません.
それゆえ, 極方程式 rf(r, θ) = r(3cosθ + 2sinθ - 1/r) = 0 においても, r = 0 とはなり得ないのです.
で, 結論としては,
極方程式 f(r, θ) = 3cosθ + 2sinθ - 1/r = 0 が表す曲線は, 極 O を通らない.
しかし, rf(r, θ) = r(3cosθ + 2sinθ - 1/r) = 0 ⇔ f(r, θ) = 3cosθ + 2sinθ - 1/r = 0 は成り立つ.
ということです.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
下の方へも述べさせていただきましたが同値性を崩さないということが一番重要なのですね。

r≠0は問題から明らかなので両辺にｒを掛けて
r(3cosθ + 2sinθ - 1/r) = 0　としてもr≠0の前提条件の下で議論すれば導けることは
「r≠0かつ3cosθ + 2sinθ - 1/r＝0」
となって同値性は崩れてないということですね。

お礼日時：2017/10/29 11:23

No.1 回答者： springside 回答日時： 2017/10/28 23:23

その本は持っていないし、また、質問の意味もちょっとよく判らないのですが、こういうこと？

「極方程式ｆ(r,θ)=0が極Ｏを通るとき、 rｆ(r,θ)=0 ⇔ f(r,θ)=0」　※

に関して、rf(r,θ)=0 → f(r,θ)=0ということは、「rとf(r,θ)の積が0のとき、r=0かf(r,θ)=0の可能性があるが（もちろん、両方=0の可能性もある）、
f(r,θ)の方が0である（rが0かどうかはどうでもいい、というか、決定できない）。」ということを言っているのでは？
（ちなみに、rf(r,θ)=0 ← f(r,θ)=0の方は自明）

とすると、「これはr≠0なので上の条件を満たしていない」という主張そのものが間違っていませんか？

ということではない？

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
すこしずつ理解してきました。「極方程式 f(r, θ) = 0 が表す曲線が極 O を通るとき」という文言にとらわれすぎていたように思います。一番の根本は同値性を崩さないということで式変形を進めるということですね。
もう少しがんばってみます。

お礼日時：2017/10/29 11:13