方程式と関数の違い

方程式：ax+by+cz=0
　と
関数：y=ax+cz
　の違いは何でしょうか？
　式だけみると同じですし，上の場合，方程式は，図にすると原点を通る平面で，
関数も切片がこの場合ないので，図にしても原点を通る平面になると思います。
　式でも図でも同じになり，やはり方程式と関数の違いがよくわかりません。
　回答お願いします。できれば，幾何的な説明でおねがいします。

No.4 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2008/11/17 02:33

こんばんは。

まず、最初に、
ax+by+cz=0　と　y=ax+cz　は、
ax+by+cz=0　を変形すると　y = -(ax+cz)/b　ですから、全然違いまね。

それはさておき、本題です。

１．
関数というのは、「何かを入れたら何が出てくる」というものです。
そして、同じものを入れたら、必ず前回と同じものが出てきます。
たとえば、
ｆ（ｘ）＝　ｘの県庁所在地
という関数があれば、
ｆ（青森）＝　青森市
ｆ（埼玉）＝　さいたま
ｆ（沖縄）＝　那覇
となります。

「関数」は、元々「函数」と書かれていました。
（「函」という漢字が当用漢字・常用漢字でないため、現代表記として「関数」が用いられています。）
「函」は、「はこ」と読みます。（函館の「函」です。）
はこに何かを入れたら、どんな答えが返ってくるか、という意味付けで、
「函数」という言葉が作られたのでしょう。
「ｆ（ｘ）」と書いたときの、かっこが函のことです。

というわけで、
左辺が１つの変数だけで表され、かつ、右辺にその変数がない場合、
左辺の変数は、右辺にある変数の関数であるとする習慣があります。
すでにご回答があるとおり、
ｙ（ｘ，ｚ）　＝　ａｘ　＋　ｃｚ
と書きます。

ａｘ　＋　ｂｙ　＋　ｃｚ　＝　０
は、たとえば、
ｚ（ｘ，ｙ）　＝　－（ａｘ＋ｂｙ）／ｃ
という関数で表すことができます。


２．
＞＞＞幾何的な説明でおねがいします。

ご質問文のケースですと、
関数　ｙ＝ａｘ＋ｃｚ　のグラフが、
方程式　ｙ＝ａｘ＋ｃｚ　が表す面そのものです。
二次元だと線になるものが、三次元だと面になるだけのことです。


以上、ご参考になりましたら。

No.3 回答者： Mandheling 回答日時： 2008/11/16 21:47

良い点にきがついたと思います。

同じものでいいとおもいますよ。
　方程式でいうところの解の集合
　関数でいうところの点の集合
は同じものですから。
要は問題を解くときに
方程式というツールを使うか、関数というツールを使うかの違いだと思います。
そして解き方は変わってくるものの、求められる答えは同じ。

方程式っぽい問題を関数で考えるとイメージしやすく簡単に解けたり、
またその逆もしかりですよね。

No.2 回答者： noname#111804 回答日時： 2008/11/16 17:32

方程式の解集合をＡ１（ｘ、ｙ、ｚ）とし

関数の解集合をＡ２（ｘ、ｙ、ｚ）とすれば、

Ａ１＝Ａ２になるので、同じだと思います。

No.1 回答者： mokonoko 回答日時： 2008/11/16 17:15

方程式の方は

等号の左側と右側が変数ｘ、ｙ、ｚがどんな値であっても常に一致するものです。

関数の方は
変数x、z（の一次式にそれぞれの比例係数を掛けて足したもの）によってｙの値が決まるという性質を示すものです。
このため、y(x,z)=ax+czと書き表すとより具体的なイメージに結びつくと思います。

ここで勝手にx、y、zを変数として解釈していますが、これは一般的な使い方にならっているものです。
同様にa、b、cは定数扱いとしています。

一般的な使い方をしない場合は、どれが変数でどれが定数なのかを明確にしてから使うようにしましょう。
例えば関数yの式の中に変数が１つだけで、それがaのことであるならy(a)=ax+czと書くことが出来ます。