証明です

x+ｙ+ｚ=１、ｘｙ+yz+zx=xyz　のとき

ｘ、ｙ、ｚ　のうち
少なくとも１つが１に等しいことを
証明せよ。


どなたか回答お願いします。

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/11/18 23:50

こんばんわ。

昔からよく見る「例題」ですね。＾＾

「少なくとも 1つが 1に等しい」ということは、
x＝ 1、y＝ 1、z＝ 1のうち、少なくとも 1つが成り立つということですね。

さらに、言い換えると
x- 1＝ 0、y- 1＝ 0、z- 1＝ 0のうち、少なくとも 1つが成立していること

となります。
このことを「方程式のように」表してみたら、どうなりますか？
それが「少なくとも 1つが 1に等しい」を式で表した（同値である）ことになります。

証明では、その式が成り立つことを示せばOKです。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2010/11/19 23:31

No.2 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/11/19 00:07

　3次方程式の解と係数の関係を使った別解です。

　x,y,z を3つの解とするtの3次方程式を考えますと、この方程式は　3次方程式の解と係数の関係から
http://ameblo.jp/jukensuugaku/entry-10446026333. …

　xy+yz+zx = xyz =k とおいて
　　t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz=0
　∴t^3-t^2+kt-k=0
　⇔t^2(t-1)+k(t-1)=0
　⇔(t^2+k)(t-1)=0
　∴　t=1, t^2+k=0

　このことから、tの3次方程式の3つの解x,y,zのうち少なくとも1つは　１　であることが分かりました。
　従って、x,y,zの3つのうち少なくとも1つが1である問えます。



　＃１さんの展開式　(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-(xy+yz+zx)+(x+y+z)-1 を利用した解法の方がスマートですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2010/11/19 00:14

No.3 ベストアンサー 回答者： gohtraw 回答日時： 2010/11/19 00:08

xy+yz+zx=xyz　を変形して　

ｘ（ｙ＋ｚ）＋ｙｚ＝ｘｙｚ
ｙ＋ｚ＝１－ｘ　なので
ｘ（１－ｘ）＋ｙｚ＝ｘｙｚ
ーｘ＾２＋ｘ＋ｙｚ＝ｘｙｚ
ーｘ＾２＋ｘ＋ｙｚ－ｘｙｚ＝０
－（ｘ－１）（ｘ＋ｙｚ）＝０
よって　ｘ＝１　または　ｘ＝－ｙｚ

ｘ＝－ｙｚであるとき、ｘ＝１－ｙ－ｚなので
１－ｙ－ｚ＝ーｙｚ
ｙｚ－ｙ－ｚ＋１＝０
（ｙ－１）（ｚ－１）＝０
よってｙ＝１　またはＺ＝１

以上まとめると、ｘ＝１またはｙ＝１またはｚ＝１

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2010/11/19 00:15