めちゃくちゃ急ぎです！助けて！！！数学の問題で ユークリッドの互除法 方程式なのですが 互除法を用い

めちゃくちゃ急ぎです！助けて！！！数学の問題で
ユークリッドの互除法 方程式なのですが

互除法を用いて次の方程式の整数解を1組求めよ
58x＋47y=1

裏技を使っても答えが合いません。
どうしても裏技を使いたいので裏技や簡単な方法で解いていただける方回答よろしくおねがいします！！！！！！泣

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2024/03/05 18:46

mod47とmod58で合同式を解くと

x＝－17＋47k、ｙ＝21＋58ℓ、k、ℓ整数　と出る。
これをもとの方程式に入れて整理すると
47・21－58・17－1＝－58・47(k＋ℓ)・・・①
さて、もし①の左辺が＞0なら
①の左辺＜47・21＜47・58
①の左辺＜0なら
①の左辺＜58・17＋1＝58・47－(58・30－1)＜58・47
しかし①の右辺は①の左辺が≠0のとき①の左辺の絶対値≧58・47
であることを要求する（なぜかといえばｋ＋ℓ≠0だから）
したがって①の左辺は0になる。
つまりx＝－17、ｙ＝21が解のひとつになる。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/04 22:24

58+47(-1)=11

47+11(-4)=3
11+ 3(-3)=2
3 + 2(-1)=1
1
-1
1+(-3)(-1)=4
x=-1+(-4)4=-17
y=4+(-1)(-17)=21

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2024/03/04 21:29

NO2 です。

「裏技を使っても答えが合いません。」って、
どんな方法で どんな答えが出たのかを 書いてくれると、
疑問に沿った回答が 期待できます。
まさか 不適切な方法を使ったとか、
単純に 計算ミス と云う事はないよね。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/04 17:04

58-47=11…(11)

47-11×4=3…(3)
11-3×3=2…(2)
3-2=1
↓これに(2)を代入すると
3-(11-3×3)=1
3×4-11=1
↓これに(3)を代入すると
(47-11×4)×4-11=1
47×4-11×17=1
↓これに(11)を代入すると
47×4-(58-47)×17=1

58×(-17)+47×21=1

↓　58x+47y=1　だから

x=-17
y=21

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2024/03/04 14:49

＞裏技を使っても答えが合いません。

何が 裏技になるか 分かりませんが。
( 掛けるの記号xと アルファベットの x との 区別が付きませんので、
　x, y を a, b と置き換えます。）
58a+47b=1
58=47x1+11 → 11=58-47x1 ・・・①
47=11x4+3 → 3=47-11x4・・・②
11=3x3+2 → 2=11-3x3・・・③
3=2x1+1 → → 1=3-2x1・・・④
④ に③を代入 1=3-(11-3x3)=3x4-11 、
上記に ② を代入 1=(47-11x4)x4-11=47x4-11x17 、
上記に ① を代入 1=47x4-(58-47)x17=47x21-58x17 。
つまり a=-17, b=21 となります。

58a+47b=1
58x(-17)+47x21=1
辺々引き算をして 58(a+17)=47(21-b) 。
58 と 47 は互いに素ですから k を任意の整数として、
a+17=47k → a=47k-17 、同様に b=-58k+21 。
a, b を 元に戻して、x=47k-17, y=-58k+21 (k: 任意の整数) 。

（NO１さんの答えと 見た目は違いますが、同じ答えです。）

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/03/04 13:40

学習参考書には、いろいろなやりかたが書いてあるが、

どれも要するにユークリッドの互除法を行っていて
計算する内容には違いが無い。違うのは書き方だけだ。
答案の記述量が少なくて済むのは剰余計算を使った方法
だが、mod は学校で習っただろうか？

58x + 47y = 1 を mod 47 へ移行して、11x ≡ 1 (mod 47).
11x = 1 + 47ｎ となる ｎ を見つければよいが、それには
11x = 1 + 47ｎ を mod 11 へ移行して、0 ≡ 1 + 3ｎ (mod 11).
もう一回同じ操作を繰り返してもいいが、係数が小さくなったので、
そろそろカンで ｎ ≡ 7 (mod 11) が見つかるころだろう。

n = 7 + 11k を 11x = 1 + 47ｎ へ代入すれば、x = 30 + 47k.
これを 58x + 47y = 1 へ代入すれば、y = -37 - 58k.
ただし、k は整数。