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mtrajcp様に以前答えていただいた解答に関して、
複数の疑問がございます。
どうか、質問を連投するのは皆様のご迷惑になりますし、どうか各質問に関してお答え願えないでしょうか。

akitv 教えてgoo
2022.2.2 21:48

「a(n-1)=(1/n!)lim_{z→1}(d/dz)^n{f(z)(z-1)}と
f(z)=1/{(z+1)(z-1)}
に関して、」と検索していただいて

出てきた質問に対して疑問があります。


質問1.
2022 2.2 21:48
f(z)=1/(z^2-1)として
n≧-1の時、
a(n)={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz

留数の定理より
g(z)= 1/{(z+1)(z-1)^(n+2)
Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)
となりますが、
なぜg(z)=1/(z+1)としてもn

質問2.
2022 2.2 22:03
なぜnをmに置き換える必要があったのか。


質問3.
2022 2.10 19:21
「n≦-2の時

n≦-2
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
↓左右を入れ替えると
-n-2≧0

1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
=
(z-1)^(-n-2)/(z+1)

z→1 の時
-n-2≧0だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1) の分母は0にならないから
(z-1)^(-n-2)/(z+1) は収束し
(z-1)^(-n-2)/(z+1) は z=1で正則だから
z=1は(z-1)^(-n-2)/(z+1)の特異点ではない
z=1は極ではない

z→-1 の時
(z-1)^(-n-2)/(z+1) の分母は0になり
(z-1)^(-n-2)/(z+1) は発散し
z=-1は(z-1)^(-n-2)/(z+1)の特異点だから

(z-1)^(-n-2)/(z+1)

z=-1
のみだけ
で1位の極をもつ」
に関しては
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz n≦-2の時、
(z-1)^(-n-2)/(z+1)= (z-1)^(n+2)(z+1)が
発散する事で(z-1)^(n+2)(z+1)は積分できないため、
コーシーの積分定理が使えないため、

「z=-1
のみだけ
で1位の極をもつ」
と言えたのである。


質問4.
2022.7.9 21:52
「過去にしてきた質問に対する解答に関して質問が以下の1〜7に関して解答を頂きたく思います。」と検索して頂き。

質問5
2022.7.16 10:12
「n≧-1ではz≠π/2で
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
と定義できるし
g(z)=(z-π/2)tan(z)
とも定義できるのです
同じg(z)を使ってはいるけれども全く別のものなのです
全く別のものだから同じg(z)を使ってはいけないのです
だけれども
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
と定義できても使えないからg(z)と定義しないで
g(z)=(z-π/2)tan(z)
と定義しただけのことです」

とは言え
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)と定義できるため、n≧-1の時は積分が困難なので
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
によってa(n)を求められないのです
a(n-1)=(1/n!)lim_{z→1}(d/dz)^n{f(z)(z-1)を使って解きましたが
なぜ積分が困難なのでしょうか?




質問6.
2022 7.16 10:12
「n≦-2の時

a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz

n≧-1の時

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}」

としましたが、
n≧-1の時なぜg(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)ではなく、g(z)=(z-π/2)tan(z)なのでしょうか?
また、どうやってn≧-1の時g(z)=(z-π/2)tan(z)を導いたのでしょうか?




質問7.
2022.7.19 09:28
「(z-π/2)tan(z)=Σ_{n=-1~∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)」
において、テイラー展開はΣ_{n=0~∞}にしか対応しないはずですが、
なぜΣ_{n=-1~∞}なのでしょうか?
「」の式a(n)(z-π/2)^(n+1)の指数がn=-1の時は0になるため大丈夫なのでしょうか?


質問8.
2022.7.15 16:59
「n≦-2の時
z→π/2の時g(z)が収束するから
g(π/2)=lim_{z→π/2}g(z)」
と書いてありますが、
g(π/2)=lim_{z→π/2}g(z)はなんなのでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • こちらが赤い下線部の式の画像です。
    確認をお願い致します。

    「mtrajcp様に以前答えていただいた解」の補足画像1
      補足日時:2022/09/03 10:33
  • 他の質問は解けたので、

    最後にどうやって

    res(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)

    の式を作ったかだけ教えて下さい。

      補足日時:2022/09/03 13:49

A 回答 (3件)

res(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)



f(z)がz=π/2=a でn位の極を持たなければ間違いです
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質問1.


f(z)=1/(z^2-1)
の展開の中心がz=1で
0<|z-1|<2
で展開するならば
Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)

間違いです
Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)
の展開の中心は-1だから間違いです
間違った質問はやめて下さい
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この回答へのお礼

ごめんなさい。

正しくはRes(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)でした。

あの先程の赤い下線部の式について。

なぜ、いきなりg(z)=1/(z-1)と置いたのですか?
どうやってg(z)=1/(z-1)が出てきたかだけ教えて下さい。

今現在、紙に計算していますが、未だに
g(z)=1/(z-1)となぜ置けたのかわかりません。

どうか知恵をお貸しください。

お礼日時:2022/09/03 12:36

質問を連投するのは皆様のご迷惑になると思うなら質問しないで下さい



質問1.
f(z)=1/(z^2-1)
の展開の中心がz=1で
0<|z-1|<2
で展開するならば
Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)

間違いです
Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)
の展開の中心はz=-1だから間違いです
0<|z-1|<2の範囲にはz=-1は入りません
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この回答へのお礼

個人でご相談できるならば皆様にご迷惑をお掛けしせずに、mtrajcp様には迷惑をかけてしまうかもしれませんが、
少なくともこちらに質問せずに済むのですが、
質問1については私のミスで途中までしか書けていませんでした。


書き直すと
「質問1.
2022 2.2 21:48
f(z)=1/(z^2-1)として
n≧-1の時、
a(n)={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz

留数の定理より
g(z)= 1/{(z+1)(z-1)^(n+2)
Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)
となりますが、

なぜ
f(z)=1/(z^2-1)でも
g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)でもない
載せた赤い下線部の
g(z)=1/(z+1)の式から

i)0<r<2
n≧-1の時に
a(n)=-1/(-2)^(n+2)と正しいa(n)の式が導けたのかを理由を知りたいのです。

お礼日時:2022/09/03 10:33

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