No.4ベストアンサー
- 回答日時:
(1)2sin^2θ-5cosθ+1=0
2sin^2θ-5cosθ+1=2(1-cos^2θ)-5cosθ+1=0
2cos^2θ+5cosθ-3=0
cosθ={-5±√(25+24)}/4=(-5±7)/4
cosθ=-3はあり得ないので、cosθ=1/2
よって、θ=π/3及びθ=5π/3・・・答え
(2)tan(2θ+π/4)=1
tan(2θ+π/4)
={(tan2θ)+tanπ/4}/{1-(tan2θ)(tanπ/4)}
=(tan2θ+1)/(1-tan2θ)=1
2tan2θ=0
tan2θ=0
0≦θ≦2πより0≦2θ≦4π
2θ=0,π,2π,3π,4π
よって、θ=0、θ=π/2、θ=π、θ=3π/2及びθ=2π・・・答え
(3)cos2θ>3-5sinθ
cos2θ=cos(θ+θ)=cosθcosθ-sinθsinθ
=(1-sin^2θ)-sin^2θ=1-2sin^2θ
-1+2sin^2θ<-3+5sinθ
2sin^2θ-5sinθ+2<0
2sin^2θ-5sinθ+2=2{sin^2θ-(5/2)sinθ}+2
=2(sinθ-5/4)^2+2-2*25/16=2(sinθ-5/4)^2-9/8<0
(sinθ-5/4)^2<9/16
|sinθ-5/4|<3/4
sinθ-5/4<0であるから5/4-sinθ<3/4
sinθ>5/4-3/4=1/2
よって、π/6<θ<5π/6・・・答え
(4)sin2θ<sinθ
sin2θ=sin(θ+θ)=sinθcosθ+cosθsinθ=2sinθcosθ
2sinθcosθ<sinθ
(sinθ)(2cosθ-1)<0
sinθ>0で2cosθ-1<0・・・(ア)
sinθ<0で2cosθ-1>0・・・(イ)
(ア)より
sinθ>0 → 0<θ<π
cosθ<1/2 → π/3<θ<5π/3
共通の範囲をとってπ/3<θ<π
(イ)より
sinθ<0 → π<θ<2π
cosθ>1/2 → 0<θ<π/3 及び 5π/3<θ<2π
共通の範囲をとって5π/3<θ<2π
よって、π/3<θ<π及び5π/3<θ<2π・・・答え
No.3
- 回答日時:
ANo.2です。
以下のように訂正お願いします。解が1個抜けていました。>2θ=0,π,2π,3π,4πより、よって、θ=0,π/2,π,3π/2,2π
です。
No.2
- 回答日時:
次の方程式、不等式を解け。
ただし、0≦θ≦2πとする。0≦θ≦2π ……(1)だから、-1≦sinθ≦1,-1≦cosθ≦1 ……(2)
>(1)2sin^2θ-5cosθ+1=0
2(1-cos^2θ)-5cosθ+1=0
2cos^2θ+5cosθ-3=0
(2cosθ-1)(cosθ+3)=0
(2)より、cosθ=-3は成り立たないから、
2cosθ-1=0より、cosθ=1/2
(1)より、θ=π/3,5π/3
>(2)tan(2θ+π/4)=1
(1)のとき、0≦2θ≦4π π/4≦2θ+π/4≦4π+(π/4)=17π/4
このとき、2θ+π/4=π/4,5π/4,9π/4,13π/4,17π/4
2θ=0,π,2π,3π,4πより、よって、θ=0,π/2,3π/2,2π
>(3)cos2θ>3-5sinθ
2倍角の公式より、cos2θ=1-2sin^2θ
1-2sin^2θ>3-5sinθ
2sin^2θ-5sinθ+2<0
(2sinθ-1)(sinθ-2)<0
1/2<sinθ<2 (2)より、
1/2<sinθ≦1
単位円でy=1/2より上の範囲だから、
よって、π/6<θ<5π/6
>(4)sin2θ<sinθ
2倍角の公式より、sin2θ=2sinθcosθ
2sinθcosθ<sinθ
(2cosθ-1)sinθ<0より、
2cosθ-1>0,sinθ<0…(3) または、2cosθ-1<0,sinθ>0 …(4)
(3)のとき、cosθ>1/2,sinθ<0より、
単位円でx=1/2より右側,y=0(x軸)より下側だから、
0≦θ<π/3,5π/3<θ≦2π と π<θ<2π の共通部分は、5π/3<θ<2π
(4)のとき、cosθ<1/2,sinθ>0より、
単位円でx=1/2より左側,y=0(x軸)より上側だから、
π/3<θ<5π/3 と 0<θ<π の共通部分は、π/3<θ<π
よって、π/3<θ<π または、5π/3<θ<2π
No.1
- 回答日時:
書き込んでいる時間がないので、解説がいるなら補足か何かつけてください
(1)θ=π/3 , 5/3π
(2)θ=0 , π/2 , π , 3π/2
(3)π/6<θ<5π/6
(4)π<θ<5π/3 または 0≦θ<π/3
急いで解いたので間違ってたらごめんなさい
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