a(n)=1/(n+1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)

a(n)=1/(n+1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)の式においてn=1の時のa(1)の値はいくつでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 補足で申し訳ありません。
  
  以下の計算は正しいでしょうか？
  もし間違えている場合は正しい計算を教えて下さい。
  どうかよろしくお願い致します。
  
  a(n)
  =res(tan(z),a)
  =1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
  =1/(0)! lim[z->a](d/dz)^(0)(z-a)tan(z)
  =lim[z->a](z-a)tan(z)
  =-1

    補足日時：2024/04/07 17:55

• ありがとうございます。
  度々申し訳ありません。
  
  
  a(n)
  =res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
  =1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-a)^1 tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  =1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  =lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  
  はいくつになるでしょうか？

    補足日時：2024/04/07 19:39

• 出来ればa(n)
  「=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
  =1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-a)^1 tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  =1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  =lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)」
  の
  「=lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)」がいきつになるかを教えて頂きたいです。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/04/11 16:28

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/07 08:26

a(1) = (1/2!) lim[z->π/2] (d/dz)^2 (z-π/2) tan(z)

= (1/2!) lim[z->π/2] (d/dz){ 1 tan(z) + (z-π/2) /cos^2 (z) }
= (1/2!) lim[z->π/2] { 1/cos^2 (z) + 1/cos^2 (z) + (z-π/2)(2sin(z)/cos^3 (z)) }
= (1/2!) lim[z->π/2] { 2/cos^2 (z) + 2(z-π/2)sin(z)/cos^3 (z) }
= (1/2!) lim[z->π/2] 2{ cos(z) + (z-π/2)sin(z) }/cos^3 (z)
= (1/2!)2 lim[u->0] { -sin(u) + u cos(u) }/{ -sin(u) }^3
= lim[u->0] { sin(u) - u cos(u) }/{ sin(u) }^3
= lim[u->0] { (u - (1/3!)u^3 + O(u^5)) - u(1 - (1/2!)u^2 + O(u^4)) }/{ u + O(u^3) }^3
= lim[u->0] { { - (1/3!) + (1/2!) }u^3 + O(u^5) }/{ u^3 + O(u^5) }
= lim[u->0] { ({ - (1/3!) + (1/2!) } + O(u^2) }/{ 1 + O(u^2) }
= { { - (1/3!) + (1/2!) } + 0 }/{ 1 + 0 }
= - 1/6 + 1/2
= 1/3.

この回答へのお礼

助かりました！
ありがとうございます！

お礼日時：2024/04/07 17:30

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2024/04/07 17:29

z＝0の近傍でｚcotｚ＝1－z²/3－z⁴/45－・・・と展開されるのは

よく知られている。そこで
(z-π/2)tan(z)＝(-1)(z-π/2)cot(z-π/2)
＝-1＋(z－π/2)²/3＋(z-π/2)⁴/45＋・・・がｚ＝π/2の近傍で成立つので
同じ近傍で
(d/dz)^2(z-π/2)tan(z)＝2/3＋4/15(z-π/2)²＋・・・がなりたつ。
ゆえに
a(1)=1/2! lim[z->π/2](d/dz)^2(z-π/2)tan(z)＝1/2×2/3＝1/3　
です。

この回答へのお礼

助かりました！
ありがとうございます！

お礼日時：2024/04/07 17:30

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2024/04/07 19:07

aってπ/2のことですね？

だったら　res(tan(z),a)はそのとおり、-1　です。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/07 22:45

補足で質問が変わるのって嫌い。

何のために回答したんだかわからん。

この回答へのお礼

すいません。
答えて頂けたら嬉しいです。

お礼日時：2024/04/08 00:31

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2024/04/08 14:46

ｆ(ｚ)＝tan(z)/(z-π/2)^(n+1)　のｚ＝π/2での留数ですか？

ｚcotｚのよく知られたマクローリン展開を使うと
ｆ(ｚ)のｚ＝π/２でのローラン展開が
-(z-π/2)cot(z-π/2)のπ/2でのテーラー展開
-1＋Σ[k＝1～∞]{2^(2k)Bk/(2k)!(z-π/2)^(2k)}を
(z-π/2)^(n＋2)で割ったものになる。Bkはべルヌーイ数。
ｆ(ｚ)のπ/2での留数はその回りのローラン展開の(z-π/2)^-1
の項の係数だから、上の展開から求める留数は
ｎが偶数のとき　0　になり
nが奇数のとき　2^(2ｍ)Bm/(2ｍ)!　ただしｍ＝(n＋1)/2
になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

こちらの解答は
「a(n)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-a)^1 tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)」
の
「=lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)」
は見当たりませんが、
「a(n)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-a)^1 tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
」に関する解答なのでしょうか？

どうかお願い致します。

お礼日時：2024/04/11 16:24

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/11 21:00

補足日時：2024/04/07 17:55 は間違い

a(-1)
=res(tan(z),π/2)
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-π/2)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-π/2)tan(z)
=lim[z->π/2](z-π/2)tan(z)
=-1

補足日時：2024/04/07 19:39 は間違い

a(n)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=1/(n+2-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+2-1)(z-π/2)^(n+2) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=1/(n+1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)

補足日時：2024/04/11 16:28 も間違い

lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
にはならない

1/(n+1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
に
なる

この回答へのお礼

ありがとうございます。

「a(-1)
=res(tan(z),π/2)
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-π/2)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-π/2)tan(z)
=lim[z->π/2](z-π/2)tan(z)
=-1」
に関しては正しくは2024.4.7 17:55の補足に
「a(n)
=res(tan(z),a)
=1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->a](d/dz)^(0)(z-a)tan(z)
=lim[z->a](z-a)tan(z)
=-1」
と書きましたが、

「a(n)
=res(tan(z),a)
=1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->a](d/dz)^(0)(z-a)tan(z)
=lim[z->a](z-a)tan(z)
=-1」
と
「a(-1)
=res(tan(z),π/2)
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-π/2)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-π/2)tan(z)
=lim[z->π/2](z-π/2)tan(z)
=-1」
に関しては何が間違いなのでしょうか？
どうか何を間違えているのか教えて下さい。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/04/12 19:10

No.7 回答者： syotao 回答日時： 2024/04/12 14:56

No.5　の解答は

あくまでres(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)　に対する解答です。
あなたの
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-a)^1 tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
云々は
まちがっています。

No.8 回答者： syotao 回答日時： 2024/04/12 15:05

lim[z->π/2](z-π/2) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)」

は無限大に発散します。

この回答へのお礼

補足2024.4.11 16:28の
lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)がいくつになるかに関して解答をありがとうございます。

お礼日時：2024/04/13 20:40

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/12 16:45

補足日時：2024/04/07 19:39

tan(z)/(z-π/2)^(n+1) の　z=π/2 は
1位
ではない
n+2位
の極だから

res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=
1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-a)^1 tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
は間違い

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
はz=π/2で　n+2 位　の極をもつから

res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=
1/(n+2-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+2-1)(z-π/2)^(n+2) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=1/(n+1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/12 20:34

lim_{z→a}g(z)(z-a)^(k-1)が発散し

lim_{z→a}g(z)(z-a)^kが収束するとき
g(z)はz=aでk位の極をもつという
g(z)がz=aでk位の極をもつとき
res(g(z),a)={1/(k-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(k-1)g(z)(z-a)^k
が成り立つけれども

tan(z)/(z-π/2)^(n+1) の　z=π/2 は
1位ではないn+2位の極だから

k=1ではなく
k=n+2