Σの計算

x'^i=Σa^i_jx^j
a^i_jは三次元の回転行列
の計算が分かりませんどう展開すればいいですか

質問者からの補足コメント

• x^1=x,x^2=y,x^3=zです
  Σはアインシュタインの縮約記法を使っています
  y'=sinθxとかおかしな展開になります
  そもそも回転行列を足すことで何がしたいんでしょうか

    補足日時：2024/04/06 13:01

• i=2
  j=1のとき
  x'^2=y'
  a^2_1=sinθ
  y'=sinθxになります

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/04/06 14:17

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/06 21:37

回転行列は足すものではありません

回転行列はかけるものです

z軸まわりにθ回転すると

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/06 18:04

アインシュタイン記法だって言ってたのは自分でしょ？

アインシュタイン記法ってのは、ひとつの式の中で
上付き添字と下付き添字に同じ文字が現れてたら、
その文字について ∑ するってことですよ。
https://manabitimes.jp/physics/1753#google_vigne …
a^i_j x^j と書いて、j の変域が 1,2,3 なら、それは
a^i_1 x^1 + a^i_2 x^2 + a^i_3 x^3 って意味です。
記法自体に ∑ の意味があるから、∑ a^i_j x^j って
書き方はしません。x’^i = a^i_j x^j と書けばよい。

x^1 = x,　　x^2 = y,　　x^3 = z,
x’^1 = x’,　x’^2 = y’,　x’^3 = z’,
a^2_1 = sinθ
を代入したのなら、アインシュタイン記法を展開すると
x’ = a^1_1　x　+　a^1_2　y　+　a^1_3　z,
y’ = sinθ　x　+　a^2_2　y　+　a^2_3　z,
z’ = a^3_1　x　+　a^3_2　y　+　a^3_3　z
です。

y’ = sinθ　x になるってのは、
a^2_2 = a^2_3 = 0 って話なんですかね？ それだと、
a^i_j は 3次元の回転行列にはならなそうだけど。
a^i_j が回転行列なら、
(a^2_1)の2乗 + (a^2_2)の2乗 + (a^2_3)の2乗 = 1
が成り立たなくてはいけないはずです。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/06 13:55

「a^i_j は三次元の回転行列」というのは、

行列に添え字がついてるんじゃなくて
行列の i 行 j 列成分が a^i_j だという意味だと思いますよ。

x'^i = Σ a^i_j x^j は、普通に 3次元ベクトルの一次変換
x'^1 = (a^1_1)x^1 + (a^1_2)x^2 + (a^1_3)x^3,
x'^2 = (a^2_1)x^1 + (a^2_2)x^2 + (a^2_3)x^3,
x'^3 = (a^3_1)x^1 + (a^3_2)x^2 + (a^3_3)x^3
を表しているのでしょう。

y' = (sinθ)x って式は、どこからどうやって出てきたんですかね？

ちな、どうでもいいことですが、
アインシュタイン記法なら、 x'^i = Σ a^i_j x^j ではなく x'^i = a^i_j x^j です。

No.2 回答者： hectopascal 回答日時： 2024/04/06 12:54

この式は、ベクトルxのi番目の成分x'^iが、3次元の回転行列a^i_jと元のベクトルxのj番目の成分x^jの線形結合で表されることを示しています。

この式は、3次元空間内でのベクトルの回転や変換を表すのに使われます。回転行列a^i_jは、3次元空間内での回転操作を表す行列であり、x^jは元のベクトルの成分、x'^iは回転後のベクトルの成分を表しています。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/04/06 12:50

「どう」もこうもなく「ふつうに」計算するだけなのだが....

そもそもその式 (のΣ) の意味を理解した上で質問しているの?