数学I 式の展開について質問させて頂きます。

(x+3)(x－5)(x+6)を展開する問題です。
(x+3)(x－5)(x+6)
＝x³+(3+(－5)+6)x²
⬆の式のx²は、xではなくx²として計算するのは、(x+3)(x－5)(x+6)と与式の()が3つあり()の中のxが合わせて3つあるからですか?
(x±□)(x±〇)という()が2つしかなくxがどちらの()にもひとつだけ、合わせて2つという式の場合は、〇xという計算になると思いますが、質問させて頂いた式の場合は、
3x²+(－5x²)+(6x²)という式となり、この部分を計算すると4x²になります。
また、質問させて頂いた式は、
⬆の他にもxが数字にくっついた形になる式の部分があります。
それは、(3×(－5)+(－5)×6+6×3)x
の計算式となる部分は、xがひとつだけしかありません。－27xとなります。
同じ問題の式の中で、展開するとx²とxを使う部分が、分かれるのはなんでですか?

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます。
  一気に計算しようとして、逆に難しくしてしまって手間取っていたんですね……
  ご説明頂き、わかり易かったです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/09/21 11:14

• 続けての連続質問で、申し訳ありません。
  公式を覚えるのが苦手なため、同じ方法で考えられる問題は、ひとつの方法として覚えたいです。
  先程の質問の与式の(x+3)(x－5)(x+6)の展開方法は、最初の()を2つ選び、公式通りに計算した後、あとひとつ残った()は、最初の()2つを計算した結果を中に入れた()を2つ用意し、その前に残りひとつの()の中の文字や数字を、各ひとつづつ置いて、これで2つの式が完成したので、あとは分配法則に従って()内の文字や数字を()の外の文字や数字と掛け合わせます。
  このやり方は、(x－1)(x+1)(x²+1)(x³+2)のような、()が4つに増えた場合、最初の()を2つ選び計算、後残った()の中身をひとつづつ最初の式の答えが中に入った()の前に置いた式を2つ用意し、答えを出して、あとひとつも同じ方法を繰り返したら、質問の式と同じように答えが出せますか?

    補足日時：2023/09/21 11:47

No.5 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/21 11:59

No.1 です。

「補足」について。

＞このやり方は、(x－1)(x+1)(x²+1)(x³+2)のような、()が4つに増えた場合、最初の()を2つ選び計算、後残った()の中身をひとつづつ最初の式の答えが中に入った()の前に置いた式を2つ用意し、答えを出して、あとひとつも同じ方法を繰り返したら、質問の式と同じように答えが出せますか?

「答が出せますか」ではなくて、それが基本的なやり方。
「基本」さえ理解すれば、それは「すべての場合」に適用できる。

変なやり方や公式を覚えても、それが使える場面・使えない場面を判断しなければいけないならかえって間違いのもとになる。

数学は「公式を使って一発で答を出す」ものではなく、論理的な段階を踏んで、あるときには「試行錯誤」をしながら、求めるものを見つけ出していくものです。

あるときには今回の質問のように「展開」していくことで答を得る、別な場面では逆に「因数分解」つまり「括っていく」ことで答を得る。
「答が何か」で全く逆のプロセスになることもあるが、どちらも論理的には同じものを「逆に」使うだけ。

この回答へのお礼

ありがとうございます(_ _)
使える場面と使えない場合を、まずは判断できるようにならなければいけないですね。分かりました!!

お礼日時：2023/09/21 14:38

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2023/09/24 22:58

(x+3)(x－5)(x+6)を展開する

単純に前からやらずに　どの二つからでもいいので
=(x+3)(x^2 +x -30)=x(x^2 +x -30)+3(x^2 +x -30)
=x^3 +x^2 -30x +3x^2 +3x -90
=x^3 +4x^2 -27x -90
と　この場合後ろの2項からだと　(x－5)(x+6)=x^2 +x -30
と　x の1次の項が　+x となり計算が楽になります

一遍にするなら　2*2*2=8項になるので それぞれの係数は
x^3 .......1
定数項.....3(-5)6= -90
x^2 ....... 6+3-5=4
x ....... (-5*6)+(3*6)+(-5*3)=-30+18-15= -27
よって
与式=x^3 +4x^2 -27x -90

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/21 11:13

一足飛びに各次数の係数を求めるなら、

(x+3)(x-5)(x+6)
= x³ + { 3 + (-5) + 6 }x² + { 3(-5) + 3・6 + (-5)6 }x + 3(-5)6.
式を途中で止めたらあかんよ。

x³ の項は、(x+3)(x-5)(x+6) の括弧を外して分配法則で展開するとき
(x+3) の2個の項のうち x のほう、(x-5) の x のほう、(x+6) の x のほう
を掛け合わせることで生じるから、x・x・x で 1x³ になる。

ｘ² の項は、
(x+3) の 3 のほう、(x-5) の x のほう、(x+6) の x のほうを掛け合わせたときと、
(x+3) の x のほう、(x-5) の -5 のほう、(x+6) の x のほうを掛け合わせたときと、
(x+3) の x のほう、(x-5) の x のほう、(x+6) の 6 のほうを掛け合わせたとき
に生じるから、3・x・x + x・(-5)・x + x・x・6 で { 3 + (-5) + 6 }x² になる。

ｘ の項や定数項も、考え方は同様。

No.3 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2023/09/21 11:06

項が２つの式を３つかけるのだから、その組み合わせは2^3=8通りあります。

(x+3)(x－5)(x+6)
=x*x*x+x*x*6+x*(-5)*x+x*(-5)*6+3*x*x+3*x*6+3*(-5)*x+3*(-5)*6
=x^3+6x^2+(-5)x^2+3x^2+(-30)x+18x+(-15)x+(-90)
になります。
これらをxの乗数ごとにまとめて、
=x^3+4x^2+27x-90
ということです。

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
(a+b)(c+d)(e+f)=ace+acf+ade+adf+bce+bcf+bde+bdf
ということです。
これがa,c,eがそれぞれ○xという形になっているだけです。
したがって、aceは○x^3になるし、acfとadeとbceは○x^2になるし、adfとbcfとbdeが○xになります。

No.2 回答者： オシ工ル 回答日時： 2023/09/21 10:50

そもそも

(x+3
＝x³+(3+(－5)+6)x²　←これ間違ってる。

元の式の定数項は3*(-5)*6=-90だけど、下の式ではなくなってる。
大昔の中学生のやりかたでは、順に計算しましたがのぉ。
(x+3)(x－5)(x+6)
＝(x2-2x-15)(x+6)
=x3-2x2-15x+6x2-12x-90
=x3+4x2-27x-90

間違ってたらスマンです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/21 10:37

一足飛びに各次数を求めようとしてもできませんよ。

基本は、1つずつカッコを展開していくこと。

まずは、どんな順番でもよいですが、まず「２つ」の組合せを展開して

(x + 3)(x - 5) = x(x - 5) + 3(x - 5)　　← x + 3 を分解した
　　　　　　　= x^2 - 5x + 3x - 15
　　　　　　　= x^2 - 2x - 15

（もちろん、たすき掛けで
　x の係数は +3 - 5 = -2
　定数は 3 * (-5) = -15
と求めてもよいです)

次に、これに残りの項 (x + 6) を掛けて
　(x^2 - 2x - 15)(x + 6)
= x(x^2 - 2x - 15) + 6(x^2 - 2x - 15)　　← x + 6 を分解した
= x^3 - 2x^2 - 15x + 6x^2 - 12x - 90
= x^3 + 4x^2 - 27x - 90

＞同じ問題の式の中で、展開するとx²とxを使う部分が、分かれるのはなんでですか?

意味不明です。