確率の問題を教えて頂けませんか？

1,2,3,4,5の数字を１つ記入したカードが、１つの数字につき２枚ずつ、合計10枚ある。ここから無作為に3枚のカードを同時に引き、出た数字を小さいものから順にX≦Y≦Zとする。このとき、

①XとYは独立であるか、ないか。独立の定義を書き、その定義に従って判定しなさい. ②XとYの相関係数を求めなさい．
期待値:E(X)=5/3,分散Ｖ(X)=7.466666665
期待値:E(Y)=3,分散V(Y)=16/15 まで、分っています.

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/12/05 17:41

No.1&2 です。

まだ何の進展もありませんか？

プリントには、「2つの事象が独立」であるとは、
　P(A∩B) = P(A)･P(B)
が成立すること、というようなことが書いてありませんか？

① 単純化のため、Z はないものとして X と Y だけで考えれば、
「大きい方が Y, 小さい方が X」
ということで「等しくともよい」ので、
X のとりうる値：X=1～5
Y のとりうる値：Y=1～5
です。
ここで、Y=5 であれば、X=1～5 のいかなる値でもよいので
　P(X=1) = P(X=2) = P(X=3) = P(X=4) = P(X=5) = 1/5
です。
ところが、Y=1 であれば、X=1 しか取りえないので
　P(X=1) = 1, P(X=2) = P(X=3) = P(X=4) = P(X=5) = 0
です。
Y の値によって P(X) の値が変わるので
　P(X∩Y) = P(X)･P(Y)
とはなりません。

従って、X と Y とは独立ではありません。
これは Z がある場合も同じです。

② 相関係数を求めるには、「相分散」の値が必要です。
「相分散」とは、2つのパラメータ X と Y が同時にどれだけ各々の平均からばらついているか、つまり「偏差の積」の平均値です。

これを求めるには、再度「生データ」から計算しないといけませんね。
「X≦Y≦Z」の取り得る「場合の数」を調べます。

(a) Z=1 のとき、X=Y=1 は取り得ないので、このケースは起こりえない。

(b) Z=2 のとき、Y=1~2のいずれか。
(c-1) Y=2 のとき、X=1。1とおり。
(c-2) Y=1 のとき、X=1。1とおり。
以上、計2とおり。

(c) Z=3 のとき、Y=1~3のいずれか。
(c-1) Y=3 のとき、X=1~2 のいずれか。2とおり。
(c-2) Y=2 のとき、X=1~2 のいずれか。2とおり。
(c-3) Y=1 のとき、X=1。1とおり。
以上、計5とおり。

(d) Z=4 のとき、Y=1~4のいずれか。
(d-1) Y=4 のとき、X=1~3 のいずれか。3とおり。
(d-2) Y=3 のとき、X=1~3 のいずれか。3とおり。
(d-3) Y=2 のとき、X=1~2 のいずれか。2とおり。
(d-4) Y=1 のとき、X=1。1とおり。
以上、計9とおり。

(e) Z=5 のとき、Y=1~5のいずれか。
(e-1) Y=5 のとき、X=1~4 のいずれか。4とおり。
(e-2) Y=4 のとき、X=1~4 のいずれか。4とおり。
(e-3) Y=3 のとき、X=1~3 のいずれか。3とおり。
(e-4) Y=2 のとき、X=1~2 のいずれか。2とおり。
(e-5) Y=1 のとき、X=1。1とおり。
以上、計14とおり。

X, Y, Z の全ての組合せは、上の合計で
　2 + 5 + 9 + 14 = 30 とおり

上を整理すると
(1, 1)：4 とおり
(1, 2)：4 とおり
(1, 3)：3 とおり
(1, 4)：2 とおり
(1, 5)：1 とおり

(2, 2)：3 とおり
(2, 3)：3 とおり
(2, 4)：2 とおり
(2, 5)：1 とおり

(3, 3)：2 とおり
(3, 4)：2 とおり
(3, 5)：1 とおり

(4, 4)：1 とおり
(4, 5)：1 とおり

従って、X の期待値は
　E(X) = 1 * (4 + 4 + 3 + 2 + 1)/30 + 2 * (3 + 3 + 2 + 1)/30 + 3 * (2 + 2 + 1)/30 + 4 * (1 + 1)/30
　　　 = (14 + 18 + 15 + 8)/30
　　　 = 55/30
　　　 = 11/6　　　　←質問者さんの値とは違っていますね。

X の分散は
　V(X) = V(X^2) - [E(X)]^2
　　　 = 1^2 * (4 + 4 + 3 + 2 + 1)/30 + 2^2 * (3 + 3 + 2 + 1)/30 + 3^2 * (2 + 2 + 1)/30 + 4^2 * (1 + 1)/30 - (11/6)^2
　　　 = (14 + 36 + 45 + 32)/30 - 121/36
　　　 = 127/30 - 121/36
　　　 = (1524 - 1210)/360
　　　 = 314/360
　　　 = 157/180
　　　 = 0.87222･･･　　　←これも質問者さんの値とは違っていますね。


Y の期待値は
　E(Y) = 1 * 4/30 + 2 * (4 + 3)/30 + 3 * (3 + 3 + 2)/30 + 4 * (2 + 2 + 2 + 1)/30 + 5 * 4/30
　　　 = (4 + 14 + 24 + 28 + 20)/30
　　　 = 90/30
　　　 = 3　　　←これは質問者さんの値と合っています。

Y の分散は
　V(X) = V(Y^2) - [E(Y)]^2
　　　 = 1^2 * 4/30 + 2^2 * (4 + 3)/30 + 3^2 * (3 + 3 + 2)/30 + 4^2 * (2 + 2 + 2 + 1)/30 + 5^2 * 4/30 - 3^2
　　　 = (4 + 28 + 72 + 112 + 100)/30 - 9
　　　 = 316/30 - 9
　　　 = 46/30
　　　 = 23/15
　　　 = 1.5333･･･　　　←これも質問者さんの値とは違っていますね。

X, Y の相分散の計算はちょっと面倒。

{ (1 - 11/6) * (1 - 3) * 4 + (1 - 11/6) * (2 - 3) * 4 + (1 - 11/6) * (3 - 3) * 3 + (1 - 11/6) * (4 - 3) * 2 + (1 - 11/6) * (5 - 3) * 1 + (2 - 11/6) * (2 - 3) * 3 + (2 - 11/6) * (3 - 3) * 3 + (2 - 11/6) * (4 - 3) * 2 + (2 - 11/6) * (5 - 3) * 1 + (3 - 11/6) * (3 - 3) * 2 + (3 - 11/6) * (4 - 3) * 2 + (3 - 11/6) * (5 - 3) * 1 + (4 - 11/6) * (4 - 3) * 1 + (4 - 11/6) * (5 - 3) * 1 } /30
= (20/3 + 10/3 - 5/3 - 5/3 - 1/2 + 1/3 + 1/3 + 7/3 + 7/3 + 13/6 + 13/3)/30
= 18/30
= 0.6

従って、相関係数は
　0.6/√(0.87222 * 1.53333)
≒ 0.519

計算違いしているかも。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
わかりやすかったです。

お礼日時：2021/12/10 23:48

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/12/04 20:59

No.1 です。

＞プリントの授業なので、テキストがないのです。

「プリント」があるんでしょ？

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/12/04 20:36

＞①～独立の定義を書き

書けますか？　きっとテキストに書いてあります。

＞②～期待値:E(X),分散Ｖ(X)、期待値:,分散V(Y)まで、分っています.

X と Y の「共分散」は求められますか？
あと、それさえ分かれば相関係数が求まります。

この回答へのお礼

プリントの授業なので、テキストがないのです。

お礼日時：2021/12/04 20:42