至急です。 マクローリン展開を用いて、以下の近似式を示しなさい。ただし、|x|<<1とする。 (1+

至急です。
マクローリン展開を用いて、以下の近似式を示しなさい。ただし、|x|<<1とする。
(1+x)^1/2＝1＋x/2 -x^2/8＋x^3/16x-5x^4/128
この問題の解き方が全くわからないので、教えてくださいよろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/11/14 18:13

「解く」んじゃなくて、定義通りに求めるだけです。

なんか、勘違いしていませんか？

マクローリン展開の定義に従って
　f(x) = (1 + x)^(1/2)
を展開するだけです。

マクローリン展開の定義は、
　f(x) = f(0) + f'(0)x + (1/2!)f''(0)x^2 + (1/3!)f'''(0)x^3 + (1/4!)f''''(0)x^4 + ・・・
ですよね？

f(0) = 1
f'(x) = (1/2)(1 + x)^(-1/2) より
　f'(0) = 1/2
f''(x) = -(1/4)(1 + x)^(-3/2) より
　f''(0) = -1/4
f'''(x) = (3/8)(1 + x)^(-5/2) より
　f'''(0) = 3/8
f''''(x) = -(15/16)(1 + x)^(-7/2) より
　f''''(0) = -15/16

ここまでで
　f(x) = f(0) + f'(0) + (1/2!)f''(0) + (1/3!)f'''(0) + ・・・
　　　= 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 + (1/16)x^3 - (5/128)x^4 + ・・・

|x|<<1 で、x の５次以降の項を省略すれば
　f(x) ≒ 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 + (1/16)x^3 - (5/128)x^4

（ふつうは２次以降は省略するぐらいの近似で十分ですよね）

この回答へのお礼

勘違いしてました。
とてもわかりやすくありがとうございます！
理解することができました！

お礼日時：2021/11/14 18:17