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[f(x)^n]’=n[f(x)]^(n-1)*f’(x)
f(x)のn乗の微分=nかけるf(x)のn-1乗かけるf(x)の微分
(わかりにくくてすみません)

の証明方法を教えていただけないでしょうか?
よろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (5件)

[1]合成関数の微分の証明



y={f(x)}^n=g(u)、u=f(x)
Δy=g(u+Δu)-g(u)、Δu=Δf(x+Δx)-f(x)とおくと
Δx→0のときΔu→0なのでΔu≠0(*)のとき
dy/dx=lim[Δx→0]Δy/Δx=lim[Δx→0](Δy/Δu)・(Δu/Δx)
=lim[Δu→0](Δy/Δu)・lim[Δx→0](Δu/Δx)
=(dy/du)・(du/dx)
={df(x)^n/df(x)}・{df(x)/dx}
={f(x)^n}´・f´(x)

(*)Δx=0のときは知らんぷりでいいいと思うが。

[2]{f(x)^n}´=n・{f(x)}^(n-1)の証明

また微分の定義式から
f(x)=uとおいてn∈Nのとき
{f(x)^n}´=lim[h→0]{(u+h)^n-u^n}/h
ここで
(u+h)^n-u^n=(nC0・u^n・h^0+nC1・u^(n-1)・h^1+・・・+nCn・u^0・h^n)-u^n
=nC1・u^(n-1)・h^1+・・・+nCn・u^0・h^n
ゆえに
{(u+h)^n-u^n}/h=n・u^(n-1)+・・・+nCn・u^0・h^(n-1)
→n・u^(n-1)  (h→0)
したがって{f(x)^n}´=n・{f(x)}^(n-1)

n∈Nのときのみやりましたがn∈Z、n∈Qのときも教科書に載ってるから。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
よくわかりました。
参考にさせていただきます(^^)

お礼日時:2003/11/04 22:10

f(x)>0の場合、対数での微分はどうでしょうか?



y=f(x)^nから、
ln(y)=ln(f(x)^n)=n*ln(f(x))---(1)

式(1)の両辺をxで微分すると、

y'/y=n*f'(x)/f(x)

∴y'=n*(f'(x)/f(x))*y=n*f'(x)*f(x)^(n-1).
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この回答へのお礼

対数での微分もできるんですね~
二かいも解答してくださってありがとうございます。

お礼日時:2003/11/04 22:15

単純に微分の定義に戻ってやったらどうですか。


強引すぎますかね?
間違ってはいないと思いますが。


f(x+h)^n-f(x)^n=[f(x+h)-f(x)]*[f(x+h)^(n-1)+f(x+h)^(n-2)*f(x)+f(x+h)^(n-3)*f(x)^2+・・・・・・+f(x+h)*f(x)^(n-2)+f(x)^(n-1)]

[f(x+h)^n-f(x)^n]/h={[f(x+h)-f(x)]/h}*[f(x+h)^(n-1)+f(x+h)^(n-2)*f(x)+f(x+h)^(n-3)*f(x)^2+・・・・・・+f(x+h)*f(x)^(n-2)+f(x)^(n-1)]

ここでh→0の極限をとれば
[f(x+h)-f(x)]/h→f’(x)
f(x+h)^(n-k)*f(x)^(k-1)→f(x)^(n-1)でこいつが全部でn個ある

したがって

[f(x)^n]’
=(lim(f(x+h)-f(x))/h)*lim(f(x+h)^(n-1)+f(x+h)^(n-2)*f(x)+f(x+h)^(n-3)*f(x)^2+・・・・・・+f(x+h)*f(x)^(n-2)+f(x)^(n-1))
=f’(x)*[nf(x)^(n-1)]
=n[f(x)]^(n-1)*f’(x)
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この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
微分の定義による証明ですか!
参考にさせていただきます(^^)/

お礼日時:2003/11/04 22:15

#1、#2の積の微分と帰納法を用いる方法以外では、


定義に従って微分するとき、二項定理を用いて展開する方法があります。

例えばn=3のときで考えると
(limは省略します。)
f’(x)=((x+h)^3-x^3)/h
=((x^3+3x^2・h+3x・h^2+h^3)-x^3)/h
=(3x^2・h+3x・h^2+h^3)/h
                     ・・・(1)
=(3x^2+3x・h+h^2)
                     ・・・(2)
=3x^2
となりますが、
n=4以上でも
展開するとx^nの項が消え・・・(1)
hが1回ずつ約分でき・・・(2)
必要なところ以外はh→0で消えることになるわけです。

パソコン上だと指数がみにくいですが、
n=4あたりでやってみると分かると思います。
疑問があれば聞いてください。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
定義での証明もできますね!
色んな証明がありますね~。
参考にさせていただきます。

お礼日時:2003/11/04 22:13

帰納法はどうですか?



(f(x)^n)’=n*(f(x)^(n-1))*f'(x) ---(1)

n=1のとき、
(f(x)^1)'=f'(x)=1*(f(x)^(1-1))*f'(x)---(2)
従って、式(1)で成立する。

n=kのとき、式(1)が成立すると仮定する。
すなわち、次式(3)が成立すると仮定する。
(f(x)^k)’=k*(f(x)^(k-1))*f'(x)---(3)

すると、n=k+1のとき,
(f(x)^(k+1))'
=((f(x)^k)*f(x))'
=(f(x)^k)'*f(x)+(f(x)^k)*f(x)' ---積の微分公式より
=k*(f(x)^(k-1))*f'(x)*f(x)+(f(x)^k)*f(x)'---仮定(3)より
=(k+1)*(f(x)^((k+1)-1))*f(x)'---(4)
となって、式(1)が成立する。

以上から、すべての n>=1 について、下記が成立する。

(f(x)^n)’=n*(f(x)^(n-1))*f'(x) .
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この回答へのお礼

ご回答有り難うございます。
いろんな角度からものを見れるとよいですよね。
帰納法での証明、参考にさせていただきます。

お礼日時:2003/11/04 22:11

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