マクローリン展開のn次の係数を求める問題です。 考えてみたのですが、分からず困っています。 x/(1

マクローリン展開のn次の係数を求める問題です。
考えてみたのですが、分からず困っています。

x/(1-x)^2 , n=100

答えと解き方を教えて頂きたいです。

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/31 22:26

#1です。

誤りました。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/31 22:23

なんで No.3 のやり方でいいかっていうと、

「冪級数展開の一意性」という定理があってね。
f(x) が何らかの方法で x=0 中心の冪級数展開で表せたら、
マクローリン展開もその級数と同じであることが
あらかじめ判っているわけ。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2022/07/31 21:48

等比級数

　　Σ{n=0〜∞} (x^n) = 1/(1-x)
を思い出すんです。両辺をxで微分して　(n=0の項は定数であることに注意）
　　Σ{n=1〜∞} n(x^(n-1)) = 1/(1-x)^2
なので
　　x/(1-x)^2 = Σ{n=1〜∞} n(x^n)

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/31 21:40

やりかたは複数あるけど例えば

マクローリン展開における x^n の係数を a(n) とおき, 分母を払って得られる漸化式を解く
なんてこともできる.

あるいは
1/(1-x) を x で微分して x を乗じる
とか
え? 1/(1-x)^2 = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + (以下略) は常識でしょ?
とか.

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/31 21:10

f(x)=(x-1)⁻²

f'(x)=(-2)(x-1)⁻³
f''(x)=(-2)(-3)(x-1)⁻⁴
・・・
f⁽ⁿ⁾(x)=(-1)ⁿ(n+1)!(x-1)⁻⁽ⁿ⁺²⁾

f⁽¹⁰⁰⁾(0)=(-1)¹⁰⁰(101!)(-1)⁻⁽¹⁰²⁾=101!

したがって f(x)にxをかけて、係数は
101!