tanθは分母が0になることがある為、テイラーとマクローリン展開は出来ないと聞いたことがあるのですが

tanθは分母が0になることがある為、テイラーとマクローリン展開は出来ないと聞いたことがあるのですが、以下のサイトではx=0の時にマクローリン展開しています。なぜマクローリン展開できるのでしょうか？
https://manabitimes.jp/math/1381

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/06/20 08:37

ありがとうございます→#7

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/06/18 05:38

https://proofwiki.org/wiki/Power_Series_Expansio …
とかですかね＞#6.

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/06/17 00:58

tanθ のマクローリン展開は

|θ|<π/2 で収束することが
タランベールの判定法で判定できるんだけど、
tanθのn次微分を求めるのは結構厄介で
確かベルヌーイ数とか入ったややこしい式になる。

それをダランベールで判定するには
ベルヌーイ数の性質を幾つか利用しないとできないので
随分難儀したのをうっすら覚えてます。

ややこしい証明なんて覚えてないので
ざっと探したけど、書いてあるサイトないなあ。

誰か貼ってくれるに違いない(^_^;)

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/16 10:00

tanθ=sinθ/cosθはθ=π/2の時分母cosθ=cos(π/2)=0になるから

θ=π/2でテイラー展開は出来ないけれども
θ=0では分母cosθ=cos(0)=1は0にならないから
|θ|<π/2でテイラーとマクローリン展開できる

tanx=sinx/cosxはx=π/2の時分母cosx=cos(π/2)=0になるから
x=π/2でテイラー展開は出来ないけれども
x=0では分母cosx=cos(0)=1は0にならないから
|x|<π/2でテイラーとマクローリン展開できる

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/06/15 22:16

追記

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4 …

によると、|x|<π/2 とのこと。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/06/15 22:12

あなたの言う通りです。

正確にはできまず、そのサイトは説明不足です。

展開できるためには当然、剰余項が0に収束する必要があります。
ところがそのサイトによるとn回微分には n!程度の係数があり、収束
の証明ができません(証明するまでもなく、x=πで展開はt∞となる)。

例えば、e^xの剰余項は　(xⁿ/n!)e^(θx) ですが、xを固定すれば、
これが0に収束する。

ただし、tanx のとき、|x|<1 の範囲であれば、微分項にn!程度の係
数があっても、xⁿ → 0 なので展開は収束します(ただ、剰余項の正確
な評価はしていません)。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/15 22:12

テイラー展開には、展開の中心ってあるよね？

tanθは分母が0になることがある為、
分母が0になるようなθを中心とした
テイラーとマクローリン展開は出来ない。
θ=0はそういう中心じゃあないよねって話。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/06/15 19:10

その「聞いたことがある」が, あなたの勘違い (ないし勝手な読み違い) だろう. そんな大雑把な条件じゃない. というか「分母」っ

てなんだ.