う

ぎょう基本変形と列基本へんけいの関係がわかりません
階段化はどっちつかってもいいけど掃き出しは行だけとか、
列ベクトルの線形独立な数はもちろん列基本変形でもとまるけど結局転置とランクが同じだから行と同じとか

列空間 双対性 線形代数 零空間

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/12 14:44

行基本変形は、基本変形行列を対象となる行列の左から掛けることで、

列基本変形は、基本変形行列を対象となる行列の右から掛けることで
実現されます。

行列 A の rank を求めるには、A に左右から基本変形行列 P,Q を掛けて
PAQ が階段行列になるようにすればokです。
基本変形行列は正則なので、rank PAQ = rank A となり、
階段行列の rank は行列を見ればひと目で判るからです。

掃き出し法は、一次方程式 Ax=b を解くためのものです。
行基本変形を使って (PA)x=(Pb) と変形はできても、
A の右側から基本変形行列を掛けたのでは
(AQ)(Q^-1 x)=b となってしまいます。
基本変形行列は正則なので、この変形自体は可能です。
列基本変形も使って (PAQ)(Q^-1 x)=Pb の PAQ が単位行列になる
ようにしたら、Q^-1 x=Pb だけでは計算が終わらず、最後にもうひと手間
x = QPb とする 必要が生じます。このひと手間を加えて
列基本変形も併用することは、変数変換を併用した掃き出し法と解釈でき、
一次方程式の正しい解法のひとつですが、あまり使われていません。

右辺の b への Q の作用を P の作用の後で行う必要があり、
また左から掛けるので A への Q の作用と同じでありません。
変形途中で行った操作を記録して行列 Q を作っておかねばならず、
その作業が煩瑣だからではないかと思います。

この回答へのお礼

rank PAQ = rank A となり、
なるほど。
行基本変形を使って (PA)x=(Pb) と変形はできても、
A の右側から基本変形行列を掛けたのでは
AxQ=bQ となってしまいます。
これもなるほどと思いました。でも、列と行がどこまで台頭でどこから行にせいやくがきてるとか考えます

お礼日時：2024/04/12 16:01