あのわかりません ai (i=1,2,...,m)を行ベクトルとする m x n 行列Aを行基本変形

あのわかりません


ai (i=1,2,...,m)を行ベクトルとする m x n 行列Aを行基本変形して、 行列

Bが得られたとする。

このときBの行ベクトルは, (C1, C2, ......, Cm) ≠ (0,0,......, 0) である定数 C1. C2, ....... Cm によって, C1a1+C2a2+....+Cmαm の形に書けることを示せ。

回答をよんでも、あまりわかりません。

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/08/14 23:18

>Aの列(行でない)

>とおまいます。

いえ行なんです。
例えば
C=
0 0 0
1 0 0
0 0 0
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9

CA=
0 0 0
1 2 3
0 0 0

行ですよね。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2022/08/15 07:26

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/08/14 18:32

行基本変形は全て行列を左から掛けることで表わせるから

B=CA
と表せる。
Bのk行をBk、Aのi行をAi、Cのk行をCk=(c1, c2, ・・・, cm)とすると
Bk=∑ciAi

最後の式は行列の掛け算をじっくり考えれば
難しく無いです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。でも、
Aの列(行でない)
とおまいます。

お礼日時：2022/08/14 20:00

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/08/14 02:21

行基本変形は

　(1) ある行を定数倍する。
　(2) ある行と別の行を入れ替える。
　(3) ある行に別の行の定数倍を足す。
のどれか、ってことのようですが、これらをまとめれば
●ある行を「その行を定数倍したものに、別の行を定数倍したものを加えたもの」で置き換える。他の行は変えない。
ですね。（(1)〜(3)はそれぞれ、定数が「たまたま」特定の値である場合に当たります。）
　これをさらに一般的に言えば
●各行を「その行を定数倍したものに、別の行たちをそれぞれ定数倍したものを加えたもの」で置き換える。
ということ。（行基本変形は定数が「たまたま」特定の値である場合に当たります。）
ですから、いくら繰り返したって、単に定数が変わっていくだけで、
●各行を「その行を定数倍したものに、別の行たちをそれぞれ定数倍したものを加えたもの」で置き換える。
には違いがない。そして、これを式で書いたのが、お書きの長い式です。

　別の言い方をするなら、行基本変形１回で
第k行を「第k行を定数倍pしたものに、第j行(j≠k)を定数倍qしたものを加えたもの」で置き換える。他の行は変えない。
をやる、というのは
　「m×mの単位行列の、k行k列成分をp, k行j列成分をqに書き換えたもの」をH[1]として、行列の積 H[1]A を作るのと同じです。
　なので行基本変形をr回繰り返せば、それらは対応する行列H[2], H[3], ..., H[r] で表せて、
　　X = H[r]...H[1]
とおくと、Xはm×mの行列で、
　　B =XA
である。 Xの第k行を(C1,C2,...,Cm)と書けば、Bの第k行のベクトルbkはお書きの式の通りになる。

この回答へのお礼

ありがとうございます。stomachmanはさんは、おやすみしませんか？

お礼日時：2022/08/14 02:27