対称分電圧について

添付した画像の上の式と下の式が互いに逆行列になることを示したいです。余因子展開して計算したのですが逆行列にならず計算ミスもしていなかったため方法が間違っているのかと考えているのですがどなたか教えていただけないでしょうか

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/07 01:13

1.

　A=(1,1,1)
　　 (1,a²,a)
　　 (1,a,a²)
　B=(1,1,1)
　　 (1,a,a²)
　　 (1,a²,a)

　E=(Ea,Eb,Ec)
　E₃=(E₀,E₁,E₂)
として、下の写真の関係は
　E=E₃A
だから、両辺に右から B を掛けて
　EB=E₃AB
ここで、Iを単位行列とすると
　AB=3I・・・・①
だから
　EB=E₃3I=3E₃ → E₃=(1/3)EB
を得る。これは上の写真の関係になる。

ここで、AB　は
要素(1,1)は　1+1+1=3
要素(1,2)は　1+a+a²=0
要素(1,3)は　1+a²+a=0

要素(2,1)は　1+a²+a=0
要素(2,2)は　1+a³+a³=1+1+1=3
要素(2,3)は　1+a⁴+a=1+a+a=1-1=0

要素(3,1)は　1+a+a²=0
要素(3,2)は　1+a²+a⁴=0
要素(3,3)は　1+a³+a³=1+1+1=3

となり、①が得られる。ここで
　a³=1 , a⁴=a , 1+a+a²=0 , 1+a⁴+a=1+a+a=1-1=0
を使った。


2.
あるいは、普通に行列式で、上写真 → 下写真を解くと
　|B|=|1 1 1| = |1 1 1 |・・・(2列-１列、3列-1列)
　　　 |1 a a²| |0 a-1 a²-1|
　　　 |1 a² a| |0 a²-1 a-1|
　　=(a-1)²-(a²-1)²=(a-1-a²+1)(a-1+a²-1)
　　=(a-a²)(a+a²-2)=(a-a²)(-1-2)・・・・(1+a+a²=0)
　　=3(a²-a)

|B|Ea=
　　|3E₀ 1 1|
　　|3E₁ a a²|
　　|3E₂ a² a|
　=3|E₀ 1 1|
　　|E₁ a a²|
　　|E₂ a² a|
　=3{E₀(a²-a⁴) - E₁(a-a²) + E₂(a²-a)}
　=3{E₀(a²-a) + E₁(a²-a) + E₂(a²-a)}
　=3(a²-a)(E₀ + E₁ + E₂)
→ Ea=E₀ + E₁ + E₂

|B|Eb=
　　|1 3E₀ 1|
　　|1 3E₁ a²|
　　|1 3E₂ a|
　=3|1 E₀ 1|
　　|1 E₁ a²|
　　|1 E₂ a|
　=3{-E₀(a-a²) + E₁(a-1) - E₂(a²-1)}
　=3{E₀(a²-a) + E₁(a²-a)/a + E₂(a²-a⁴)/a²}
　=3{E₀(a²-a) + E₁(a²-a)/a + E₂(a²-a)/a²}・・・(a⁴=a)
　=3(a²-a){E₀ + E₁/a + E₂/a²}
　=3(a²-a){E₀ + E₁a²/a³ + E₂a/a³}
　=3(a²-a){E₀ + a²E₁ + aE₂}・・・・(a³-1)

→ Eb=E₀ + a²E₁ + aE₂

|B|Ec=
　　|1 1 3E₀|
　　|1 a 3E₁|
　　|1 a² 3E₂|
　=3|1 1 E₀|
　　|1 a E₁|
　　|1 a² E₂|
　=3{E₀(a²-a) - E₁(a²-1) + E₂(a-1)}
　=3{E₀(a²-a) - E₁(a⁴-a²)/a² + E₂(a²-a)/a}
　=3{E₀(a²-a) - E₁(a-a²)/a² + E₂(a²-a)/a}
　=3(a²-a){E₀ + E₁/a² + E₂/a}
　=3(a²-a){E₀ + E₁a/a³ + E₂a²/a³}
　=3(a²-a){E₀ + aE₁ + a²E₂}

→ Ec=E₀ + aE₁ + a²E₂

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！何とか課題を終わらせることが出来ました！

お礼日時：2022/07/10 01:30