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x'^i=Σa^i_jx^j
a^i_jは三次元の回転行列
の計算が分かりませんどう展開すればいいですか

質問者からの補足コメント

  • x^1=x,x^2=y,x^3=zです
    Σはアインシュタインの縮約記法を使っています
    y'=sinθxとかおかしな展開になります
    そもそも回転行列を足すことで何がしたいんでしょうか

      補足日時:2024/04/06 13:01
  • i=2
    j=1のとき
    x'^2=y'
    a^2_1=sinθ
    y'=sinθxになります

    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2024/04/06 14:17

A 回答 (5件)

回転行列は足すものではありません


回転行列はかけるものです

z軸まわりにθ回転すると
「Σの計算」の回答画像5
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アインシュタイン記法だって言ってたのは自分でしょ?


アインシュタイン記法ってのは、ひとつの式の中で
上付き添字と下付き添字に同じ文字が現れてたら、
その文字について ∑ するってことですよ。
https://manabitimes.jp/physics/1753#google_vigne …
a^i_j x^j と書いて、j の変域が 1,2,3 なら、それは
a^i_1 x^1 + a^i_2 x^2 + a^i_3 x^3 って意味です。
記法自体に ∑ の意味があるから、∑ a^i_j x^j って
書き方はしません。x’^i = a^i_j x^j と書けばよい。

x^1 = x,  x^2 = y,  x^3 = z,
x’^1 = x’, x’^2 = y’, x’^3 = z’,
a^2_1 = sinθ
を代入したのなら、アインシュタイン記法を展開すると
x’ = a^1_1 x + a^1_2 y + a^1_3 z,
y’ = sinθ x + a^2_2 y + a^2_3 z,
z’ = a^3_1 x + a^3_2 y + a^3_3 z
です。

y’ = sinθ x になるってのは、
a^2_2 = a^2_3 = 0 って話なんですかね? それだと、
a^i_j は 3次元の回転行列にはならなそうだけど。
a^i_j が回転行列なら、
(a^2_1)の2乗 + (a^2_2)の2乗 + (a^2_3)の2乗 = 1
が成り立たなくてはいけないはずです。
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「a^i_j は三次元の回転行列」というのは、


行列に添え字がついてるんじゃなくて
行列の i 行 j 列成分が a^i_j だという意味だと思いますよ。

x'^i = Σ a^i_j x^j は、普通に 3次元ベクトルの一次変換
x'^1 = (a^1_1)x^1 + (a^1_2)x^2 + (a^1_3)x^3,
x'^2 = (a^2_1)x^1 + (a^2_2)x^2 + (a^2_3)x^3,
x'^3 = (a^3_1)x^1 + (a^3_2)x^2 + (a^3_3)x^3
を表しているのでしょう。

y' = (sinθ)x って式は、どこからどうやって出てきたんですかね?

ちな、どうでもいいことですが、
アインシュタイン記法なら、 x'^i = Σ a^i_j x^j ではなく x'^i = a^i_j x^j です。
この回答への補足あり
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この式は、ベクトルxのi番目の成分x'^iが、3次元の回転行列a^i_jと元のベクトルxのj番目の成分x^jの線形結合で表されることを示しています。

この式は、3次元空間内でのベクトルの回転や変換を表すのに使われます。回転行列a^i_jは、3次元空間内での回転操作を表す行列であり、x^jは元のベクトルの成分、x'^iは回転後のベクトルの成分を表しています。
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「どう」もこうもなく「ふつうに」計算するだけなのだが....



そもそもその式 (のΣ) の意味を理解した上で質問しているの?
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