倉敷芸術科学大学 整数問題

問題

x²-6x+1が負でない整数 n の平方 n² となるような整数 x を求めよ

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x²-6x+1＝(x-3)²-8＝n²
平方数＝0, 1, 4, 9, 16, 25,・・・だから、(x-3)²＝9, n²＝1
よって、x-3＝±3からx＝3±3＝0, 6
[答] x＝0, 6

何卒宜しくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 策が多くて絞れず、結構時間をさいた
  
  私の答案出来ました
  
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  私の答案
  
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  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/03/26 07:40

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/25 20:39

x^2-6x+1=(x-3)^2-8=n^2

(x-3)^2-n^2=8
(x-3+n)(x-3-n)=8

(x-3+n),(x-3-n)のどちらかが偶数
(x-3+n)-(x-3-n)=2n=0(mod2)
x-3+n=x-3-n(mod2)
だから
(x-3+n),(x-3-n)は両方とも偶数

x-3-n≦x-3+nだから
{(x-3-n=2)&(x-3+n=4)}.or.{(x-3-n=-4)&(x-3+n=-2)}

(x-3-n=2)&(x-3+n=4)のとき
2(x-3)=6
x-3=3
x=6

(x-3-n=-4)&(x-3+n=-2)のとき
2(x-3)=-6
x-3=-3
x=0

この回答へのお礼

おはようございます！

答案出来ました

補足にて

お礼日時：2024/03/26 07:37