A 回答 (14件中11~14件)
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No.2
- 回答日時:
z=0の近傍でzcotz=1-z²/3-z⁴/45-・・・と展開されるのは
よく知られている。そこで
(z-π/2)tan(z)=(-1)(z-π/2)cot(z-π/2)
=-1+(z-π/2)²/3+(z-π/2)⁴/45+・・・がz=π/2の近傍で成立つので
同じ近傍で
(d/dz)^2(z-π/2)tan(z)=2/3+4/15(z-π/2)²+・・・がなりたつ。
ゆえに
a(1)=1/2! lim[z->π/2](d/dz)^2(z-π/2)tan(z)=1/2×2/3=1/3
です。
No.1
- 回答日時:
a(1) = (1/2!) lim[z->π/2] (d/dz)^2 (z-π/2) tan(z)
= (1/2!) lim[z->π/2] (d/dz){ 1 tan(z) + (z-π/2) /cos^2 (z) }
= (1/2!) lim[z->π/2] { 1/cos^2 (z) + 1/cos^2 (z) + (z-π/2)(2sin(z)/cos^3 (z)) }
= (1/2!) lim[z->π/2] { 2/cos^2 (z) + 2(z-π/2)sin(z)/cos^3 (z) }
= (1/2!) lim[z->π/2] 2{ cos(z) + (z-π/2)sin(z) }/cos^3 (z)
= (1/2!)2 lim[u->0] { -sin(u) + u cos(u) }/{ -sin(u) }^3
= lim[u->0] { sin(u) - u cos(u) }/{ sin(u) }^3
= lim[u->0] { (u - (1/3!)u^3 + O(u^5)) - u(1 - (1/2!)u^2 + O(u^4)) }/{ u + O(u^3) }^3
= lim[u->0] { { - (1/3!) + (1/2!) }u^3 + O(u^5) }/{ u^3 + O(u^5) }
= lim[u->0] { ({ - (1/3!) + (1/2!) } + O(u^2) }/{ 1 + O(u^2) }
= { { - (1/3!) + (1/2!) } + 0 }/{ 1 + 0 }
= - 1/6 + 1/2
= 1/3.
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補足で申し訳ありません。
以下の計算は正しいでしょうか?
もし間違えている場合は正しい計算を教えて下さい。
どうかよろしくお願い致します。
a(n)
=res(tan(z),a)
=1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->a](d/dz)^(0)(z-a)tan(z)
=lim[z->a](z-a)tan(z)
=-1
ありがとうございます。
度々申し訳ありません。
a(n)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-a)^1 tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
はいくつになるでしょうか?
出来ればa(n)
「=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-a)^1 tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)」
の
「=lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)」がいきつになるかを教えて頂きたいです。
どうかよろしくお願い致します。