関数y=-sinθ+√3cosθの最大値と最小値を求めよ。 この問題、変域が書いていないのですが、ど

関数y=-sinθ+√3cosθの最大値と最小値を求めよ。

この問題、変域が書いていないのですが、どう答えれば良いのでしょうか？

最大値2, 最小値-2は分かります。

質問者からの補足コメント

• 数列を用いて、
  
  最大値2(θ=(π/3)+2(n-1))
  最小値-2(θ=(4π/3+2(n-1))
  ただし、nを整数とする。
  
  
  でもいいですか？

    補足日時：2019/01/08 22:19

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/01/08 22:42

y=-sinθ+√3cosθ

=2((-1/2)sinθ+(√3/2)cosθ)
=2(sinθcos(2π/3)+cosθsin(2π/3))
=2sin(θ+2π/3)

よって、
θ+2π/3=(π/2)+2kπ（k：整数）のとき最大値y=2
θ=2kπ-(π/6)=(12k-1)π/6（k：整数）

θ+2π/3=(3π/2)+2kπ（k：整数）のとき最小値y=-2
θ=2kπ+(5π/6)=(12k+5)π/6（k：整数）

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/08 22:53

＞変域が書いていないのですが、どう答えれば良いのでしょうか？

任意の整数を k として
sinθ = sin(θ + 2kパイ)
となることは分かりますか？

＞最大値2(θ=(π/3)+2(n-1))
＞最小値-2(θ=(4π/3+2(n-1))
＞ただし、nを整数とする。

何故、わざわざ (n - 1) にしますか？　しかも答が違うし。

y = -sinθ + √3cosθ
　= -2[ (1/2)sinθ - (√3 /2)cosθ ]
　= -2[ sinθ*cos(パイ/3) - cosθ*sin(パイ/3) ]
　= -2sin(θ - パイ/3)

0≦θ<2パイ であれば
　θ = (5/6)パイ のとき、最小値 -2
　θ = (11/6)パイ のとき、最大値 2

これを定義域を限定しなければ、任意の整数を k として
　θ = [ (11/6) + 2k ]パイ のとき、最大値 2
　θ = [ (5/6) + 2k ]パイ のとき、最小値 -2

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/11 04:46

平和-ぴんふさんの疑問は、もっともです。

θの変域を指定しなければ、最大値最小値が定まるわけがありません。
数学的にはそうなります。
しかし、高校の教科書や市販参考書だと、空気を読んで
θは任意の実数だとわかってあげる必要のある場合があります。
数学的には荒唐無稽ですが。
出題不備な問題とつきあうときには、あまり厳密にならず、
出題者の意図を汲んであげるといいでしょう。
この場合、全実数の中でyの最大値最小値を与えるθを
最大値最小値に付記すればよいのだと思います。
周期関数なので、対応するθは複数ありますが。