画像のa(n)の式から 1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2)t

画像のa(n)の式から
1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
を導こうとしたところ、
k=1として、
a(n-1)=1/(n)! lim[z->a](d/dz)^(n)(z-π/2)f(z)

a(n)=1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2)f(z)

f(z)=tan(z)として、
res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)=1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2)f(z)

=1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)を導けましたが、



「f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)、
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2,π/2)、
a(n-1)=1/(n)! lim[z->a](d/dz)^(n)(z-π/2)f(z)」
の場合から
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2,π/2)=1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2) tan(z)と導けないのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• また、過去のf(z)=1/(z-1)^2について、
  
  i)0<r<2の場合の
  res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)のf(z)にf(z)=1/(z-1)^2を代入して
  a(n)= 1/(n+1)!lim[z->1](d/dz)^(n+1){1/(z+1)}となるまでを教えて頂けないでしょうか？
  
  また、i)0<r<2の場合で
  k=1として画像のf(z)にf(z)=1/(z-1)^2を代入して
  a(n)= 1/(n+1)!lim[z->1](d/dz)^(n+1){1/(z+1)}となるまでを教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/08/02 03:54

• ありがとうございます。
  ちなみに、補足に書いた
  f(z)=1/(z-1)^2について、
  i)0<r<2の場合の
  res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)のf(z)と画像の式のどちらを使えば正しい式である
  a(n)=1/(n+1)!lim[z->1](d/dz)^(n+1){1/(z+1)}(※a(n)=-1(-2)^(n+2))を導けるのでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/03 00:14

• 編集しました。
  
  ありがとうございます。
  ちなみに、補足に書いた
  f(z)=1/(z-1)^2について、
  i)0<r<2の場合の
  res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)のf(z)と画像の式のどちらを使えば正しい式である
  a(n)=1/(n+1)!lim[z->1](d/dz)^(n+1){1/(z+1)}(※a(n)=-1/(-2)^(n+2))を導けるのでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/03 00:15

• f(z)=1/(z-1)^2について、
  以前、画像のように
  i)0<r<2の場合の時に
  a(n)=1/(n+1)!lim[z->1](d/dz)^(n+1){1/(z+1)} (※a(n)=-1/(-2)^(n+2))を導くと教えて頂いたのですが、間違いだったのでしょうか？
  
  仮に過去の画像の解答が間違っている場合は正しいa(n)の式を導く上でres(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)とa(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}のどちらを使えば良いかを教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/08/03 18:45

• ありものがありさん、mtrajcpさんありがとうございます。
  
  なるほどf(z)=1/(z^2-1)について
  res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)を使う場合はそのままf(z)を代入して
  a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}
  を使う場合はf(z)=1/(z^2-1)よりk=2として、a(n)=としてからf(z)=1/(z^2-1)を代入してa(n)を求めれば良いとわかりました。
  ちなみな、f(z)=1/(z^2-1)のk=2なのはz^2であるためでしょうか？

    補足日時：2022/08/03 23:23

• 今更で申し訳ないのですが、
  画像に関して、
  なぜf(z)=1/(z^2-1)についてa(n)を求める際にf(z)=1/(z^2-1)ではなく、
  
  f(z)=1/(z^2-1)^(n+2)としてn+2位としたのでしょうか？
  f(z)=1/(z^2-1)の1位でも極を持つためf(z)=1/(z^2-1)^(n+2)とする理由がわかりません。

  
    補足日時：2022/08/04 00:11

• 以前mtrajcpさんに解答を頂いたのですが解答が消えてしまい困っています。
  どうか画像に関する赤い下線部のf(x)=の式の作り方を今一度書いて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/08/04 11:47

• 補足ですいません。
  
  「1/(z+1)=Σ_{m=-∞～∞}a(m)(z-1)^(m+1)
  
  z→1の時左辺は収束するから右辺も収束するから
  m≦-2の時　a(m)=0でなければならない」
  
  に関して、左辺と右辺は収束するため、積分できてしまう為、コーシーの積分定理により0になってしまうと考えたのですが、なぜ0にならないのでしょうか？a(m)=0としたことで右辺は収束できなくなり積分できないため、a(m)=0として0にしないようにしたのでしょうか？
  
  また、消去されてしまった質問についてで申し訳ないのですが、llf(x)ll=√(f(x),f(x))と出来る理由を教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/08/05 10:23

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/05 05:49

f(z)=1/(z^2-1)

の
0<r<2
C={z||z-1|=r}
でのローラン展開
1/(z^2-1)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
は
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}dz
となるから
g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}とすれば
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz
a(n)=Res(g(z),1)
となるから
g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}としたのです
f(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}ではありません
同じ変数f(z)を使ってはいけません
f(z)=1/(z^2-1)
としたのならば
a(n)=Res(f(z)/(z-1)^(n+1),1)
または
g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}
a(n)=Res(g(z),1)
とすべき

Res[f(z),c] = (1/(k-1)!) lim[z→c] (d/dz)^(k-1) { f(z) (z-c)^k }
は
f(z)がz=cでk位の極を持たなければ間違いです

Res[g(z),c] = (1/(k-1)!) lim[z→c] (d/dz)^(k-1) { g(z) (z-c)^k }
は
g(z)がz=cでk位の極を持たなければ間違いです

この回答へのお礼

ありがとうございます！
なるほど1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}は
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}dzの1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}から
g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}とした事がわかりました。
後は、f(z)=1/(z^2-1)としてanを求める場合、あるいはg(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}としてanを求める場合、f(z)やg(z)などの使う式のz=cでのk位の極のkの値を考慮してanを計算するとわかりました。

ちなみに、
Res[f(z),c] = (1/(k-1)!) lim[z→c] (d/dz)^(k-1) { f(z) (z-c)^k }の右辺はどのようにして導いたのでしょうか？
どうか右辺を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか。
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/08/05 07:13

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/04 16:16

a(n)を求める時

f(z)=1/(z^2-1)^(n+2)とするのは間違いです
a(n)は求め方は以下の通りです

f(z)=1/(z^2-1)
の
0<|z-1|<2
でのローラン展開を
1/(z^2-1)=Σ_{m=-∞～∞}a(m)(z-1)^m　とすると

↓両辺に(z-1)をかけると

1/(z+1)=Σ_{m=-∞～∞}a(m)(z-1)^(m+1)

z→1の時左辺は収束するから右辺も収束するから
m≦-2の時　a(m)=0でなければならないから

1/(z+1)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^(m+1)

↓n≧-1の時,両辺を(n+1)回微分すると

(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+…

z→1の時

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)

↓両辺を(n+1)!で割ると

{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=a(n)

∴
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

この回答へのお礼

ありがとうございます。
すいません。
補足に書いた式f(z)=1/(z^2-1)^(n+2)は間違えで、正しくはf(z)=1/{(z^2-1) (z-1)^(n+1)}です。

なぜ、f(z)=1/(z^2-1)の1位でも極を持つのにわざわざf(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}としてn+2位としたのでしょうか？

また、
Res[f(z),c] = (1/(k-1)!) lim[z→c] (d/dz)^(k-1) { f(z) (z-c)^k }の右辺はどうやって導いたのでしょうか？
どうか教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願い致します。

お礼日時：2022/08/04 22:45

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/04 15:52

(f,g)=(1/π)∫_{-π～π}f(x)g(x)dx

と定義すると
e0(x)=1/√2
自然数n≧1に対して
e{2n-1}(x)=sin(nx)
e{2n}(x)=cos(nx)

f(x)=a(0)/2+Σ_{n=1～∞}{a(n)cos(nx)+b(n)sin(nx)}…(1)
とすれば

a(0)/2=(f,e0)e0(x)…(2)

b(n)sin(nx)=(f,e{2n-1})e{2n-1}(x)…(3)
a(n)cos(nx)=(f,e{2n})e{2n}(x)…(4)

となるから
(1)に(2),(3),(4)を代入すると

f(x)
=
a(0)/2=========================(f,e0)e0(x)
+b(1)sin(x)====================(f,e1)e1(x)
+a(1)cos(x)====================(f,e2)e2(x)
+b(2)sin(2x)===================(f,e3)e3(x)
+a(2)cos(2x)===================(f,e4)e4(x)
+b(3)sin(3x)===================(f,e5)e5(x)
+a(3)cos(3x)===================(f,e6)e6(x)
+b(4)sin(4x)===================(f,e7)e7(x)
+a(4)cos(4x)===================(f,e8)e8(x)
+…
=
(f,e0)e0(x)
+(f,e1)e1(x)
+(f,e2)e2(x)
+(f,e3)e3(x)
+(f,e4)e4(x)
+(f,e5)e5(x)
+(f,e6)e6(x)
+(f,e7)e7(x)
+(f,e8)e8(x)
+…

となる

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/04 14:40

←７個目の補足

途中で全く別の質問を持ち出して、
特定の回答者に答えを求めるのは何故？

この回答へのお礼

ややこしくしてしまい申し訳ありません。
新しく解答を何度か作ったのですが、何故か違反として消されてしまう為、こちらに載せました。

お礼日時：2022/08/04 21:52

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/04 03:39

＞ なぜ f(z)=1/(z^2-1) について a(n) を求める際に f(z)=1/(z^2-1) ではなく、

＞ f(z)=1/(z^2-1)^(n+2) として n+2 位としたのでしょうか？

今度は、f(z) の意味がゆらいでいるなあ...
もう口が酸っぱくなったり、耳にタコができたりだけど、
f(z) とか a(n) とか n とか、それが何を表していいるのか
が不明確になるような言い方をしたら駄目です。

1/(z^2-1) のローラン展開における (z-1)^n の係数を a(n) と置いたんですよね？
つまり、 1/(z^2-1) = Σ[n=-∞→+∞] a(n) (z-1)^n です。この式は
Σ変数を変更して 1/(z^2-1) = Σ[m=-∞→+∞] a(m) (z-1)^m とも書けます。
両辺を (z-1)^(n+1) で割ると 1/{(z^2-1) (z-1)^(n+1)} = Σ[m=-∞→+∞] a(m) (z-1)^(m-n-1).
右辺で (z-1)^-1 の項は m = n のときの a(n) (z-1)^-1 だから、
Res[1/{(z^2-1) (z-1)^(n+1)},1] = a(n) になっています。
(z-1)^(n+1) で割ることで、ローラン展開の次数をずらしたので、
a(-1) 以外の a(n) が別の関数の留数として表現できたのです。

留数として表現できたので、留数を求めるための公式
Res[f(z),c] = (1/(k-1)!) lim[z→c] (d/dz)^(k-1) { f(z) (z-c)^k }
が使えるようになります。 ここで k は f(z) が z = c にもつ極の位数ですから、
f(z) = 1/{(z^2-1) (z-1)^(n+1)}, c = 1 に対して k = n+2 で、結局
Res[1/{(z^2-1) (z-1)^(n+1)},1] = (1/(n+1)!) lim[z→1] (d/dz)^(n+1) { 1/(z+1) } です。

この回答へのお礼

>>1/{(z^2-1) (z-1)^(n+1)} = Σ[m=-∞→+∞] a(m) (z-1)^(m-n-1).
右辺で (z-1)^-1 の項は m = n のときの a(n) (z-1)^-1 だから、
Res[1/{(z^2-1) (z-1)^(n+1)},1] = a(n) になっています。

1.m = n のときの右辺がa(n) (z-1)^-1になるのはわかりました。ですが、それにより
Res[1/{(z^2-1) (z-1)^(n+1)},1] = a(n)と導けるのかがわかりません。


2.(z-1)^(n+1) で割る理由はローラン展開の次数をずらしたので、
a(-1) 以外の a(n) が別の関数の留数として表現する為だとわかったのですが、
なぜ(z-1)^(n+1) で割る事でa(-1) 以外の a(n) が別の関数の留数として表現出来たのかがわかりません。

3.留数を求めるための公式
Res[f(z),c] = (1/(k-1)!) lim[z→c] (d/dz)^(k-1) { f(z) (z-c)^k }をどうやって導いたか教えて頂けないでしょうか？

お礼日時：2022/08/04 04:49

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/03 23:47

＞ a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k} を使う場合は

＞ f(z)=1/(z^2-1) より k=2 として、a(n)= としてから
＞ f(z)=1/(z^2-1) を代入して a(n) を求めれば良いとわかりました。

良かない。

その a(n-k)= の式の k は f(z) が z=c に持つ極の位数だって
何度も書きましたよね？

以前に z=1 は 1/(z-1)^2 の k=2 位の極だって話はしましたが、
そのとき 1/(z^2-1) は何の関係もなかったですよね？

何を f(z) とした話をしているのか、 k は何を表しているのか
記号の意味を把握しないで式をいじろうとするからいかんのだ
って繰り返し繰り返し繰り返し繰り返し繰り返し言っているんです。

1/(z^2-1) に 2 位の極は存在しません。
z=1 と z=-1 がどちらも 1 位の極ですが、
その a(n) って z=1 中心のローラン展開の話ですか？
z=-1 中心のローラン展開の話ですか？

この回答へのお礼

すいません。そのとき 1/(z^2-1) はk=1でした。

お礼日時：2022/08/03 23:49

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/03 23:40

＞ f(z) = 1/(z^2-1) の a(n) に関しては

＞ res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z) と
＞ a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k} の
＞ どちらを使えば良いかを教えて頂けないでしょうか？

上の式で z=a が f(z) の位数 n の極であれば
正しく Res[f(z),a] すなわち a(-1) が求まるが、
一般の a(n) は上の式からは求めようがない。

下の式で z=c が f(z) の位数 k の極であれば、
正しく a(n-k) が求まる。 a(n) を求めるには、
k に応じて n をずらす必要があるが... 何言ってるか解る？

いずれにせよ、「f(z) = 1/(z^2-1) の a(n) に関しては」とか
Res[1/(z^2-1),1] の話なのか Res[1/(z^2-1),-1] の話なのか
判らんようは言い方をしてちゃ全然だめだ。
各記号が何を指してるのかが混乱してることがイカンって、
以前の質問から繰り返し繰り返し繰り返し繰り返し繰り返し言ってるだろ！

この回答へのお礼

何度も申し訳ありません。

f(z)=1/(z^2-1)について、計算したのですが、

k=2として、
a(n-2)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^2}

a(n)=(1/n+2!)lim_{z→1}(d/dz)^(n+2){f(z)(z-1)}

a(n)=(1/n+2!)lim_{z→1}(d/dz)^(n+2){1/(z^2-1)(z-1)}

a(n)=(1/n+2!)lim_{z→1}(d/dz)^(n+2){1/(z+1)}
となったのですが、正しい式a(n)=(1/n+1!)lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}となりません。何を間違えたのか教えて頂けないでしょうか？
どうなよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/08/03 23:48

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/03 22:27

3個目の補足について：

そのmtrajcpさんの回答は f(z) = 1/(z-1)^2 についてじゃないんですが。
ここでもまた、 f(z) が何なのかよく判ってないことからくる混乱が...
この質問は、こんなことばっかりですね。
自分が使った記号が何を表すのかは、把握してないと話になりません。

＞ 正しい a(n) の式を導く上で
＞ res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z) と
＞ a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k} の
＞ どちらを使えば良いかを教えて頂けないでしょうか？

それもう既に No.5 に書きましたよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
すいません。 正しい式f(z) = 1/(z^2-1)をf(z) =1/(z-1)^2 だと勘違いしていました。

申し訳ないのですが、
f(z) = 1/(z^2-1)のa(n)に関しては
res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z) と
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k} のどちらを使えば良いかを教えて頂けないでしょうか？

お礼日時：2022/08/03 23:14

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/03 14:34

a(n) が何なのかを書かずに「正しい式」も何も無いもんですが...

a(n) が f(z) = 1/(z-c)^2 の z = c におけるローラン展開の
n 次の係数なのであれば、 No.2 に書いたように
写真の式を k = 1 でなく、正しく k = 2 で使って、
a(n-2) = (1/n!) lim[z→c] (d/dz)^n { (1/(z-c)^2)・(z-c)^2 }
　　　= (1/n!) lim[z→c] (d/dz)^n { 1 }　　ただし n = 0,1,2,…
です。
n = 0 のとき a(-2) = (1/0!) lim[z→c] 1 = 1,
n ≧ 1 のとき a(n-2) (1/n!) lim[z→c] 0 = 0
になりますね。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/03 04:03

f(z)=1/(z-1)^2

は
z=1で2位の極を持つ
0<|z-1|でローラン展開は

f(z)=1/(z-1)^2=a(-2)(z-1)^(-2)=a(-2)/(z-1)^2=1/(z-1)^2

a(-2)=1
n≠-2の時a(n)=0となるので

a(n)=1/(n+1)!lim[z->1](d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
は
間違いです