画像のa(n)の式から 1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2)t

画像のa(n)の式から
1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
を導こうとしたところ、
k=1として、
a(n-1)=1/(n)! lim[z->a](d/dz)^(n)(z-π/2)f(z)

a(n)=1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2)f(z)

f(z)=tan(z)として、
res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)=1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2)f(z)

=1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)を導けましたが、



「f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)、
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2,π/2)、
a(n-1)=1/(n)! lim[z->a](d/dz)^(n)(z-π/2)f(z)」
の場合から
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2,π/2)=1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2) tan(z)と導けないのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• また、過去のf(z)=1/(z-1)^2について、
  
  i)0<r<2の場合の
  res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)のf(z)にf(z)=1/(z-1)^2を代入して
  a(n)= 1/(n+1)!lim[z->1](d/dz)^(n+1){1/(z+1)}となるまでを教えて頂けないでしょうか？
  
  また、i)0<r<2の場合で
  k=1として画像のf(z)にf(z)=1/(z-1)^2を代入して
  a(n)= 1/(n+1)!lim[z->1](d/dz)^(n+1){1/(z+1)}となるまでを教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/08/02 03:54

• ありがとうございます。
  ちなみに、補足に書いた
  f(z)=1/(z-1)^2について、
  i)0<r<2の場合の
  res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)のf(z)と画像の式のどちらを使えば正しい式である
  a(n)=1/(n+1)!lim[z->1](d/dz)^(n+1){1/(z+1)}(※a(n)=-1(-2)^(n+2))を導けるのでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/03 00:14

• 編集しました。
  
  ありがとうございます。
  ちなみに、補足に書いた
  f(z)=1/(z-1)^2について、
  i)0<r<2の場合の
  res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)のf(z)と画像の式のどちらを使えば正しい式である
  a(n)=1/(n+1)!lim[z->1](d/dz)^(n+1){1/(z+1)}(※a(n)=-1/(-2)^(n+2))を導けるのでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/03 00:15

• f(z)=1/(z-1)^2について、
  以前、画像のように
  i)0<r<2の場合の時に
  a(n)=1/(n+1)!lim[z->1](d/dz)^(n+1){1/(z+1)} (※a(n)=-1/(-2)^(n+2))を導くと教えて頂いたのですが、間違いだったのでしょうか？
  
  仮に過去の画像の解答が間違っている場合は正しいa(n)の式を導く上でres(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)とa(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}のどちらを使えば良いかを教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/08/03 18:45

• ありものがありさん、mtrajcpさんありがとうございます。
  
  なるほどf(z)=1/(z^2-1)について
  res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)を使う場合はそのままf(z)を代入して
  a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}
  を使う場合はf(z)=1/(z^2-1)よりk=2として、a(n)=としてからf(z)=1/(z^2-1)を代入してa(n)を求めれば良いとわかりました。
  ちなみな、f(z)=1/(z^2-1)のk=2なのはz^2であるためでしょうか？

    補足日時：2022/08/03 23:23

• 今更で申し訳ないのですが、
  画像に関して、
  なぜf(z)=1/(z^2-1)についてa(n)を求める際にf(z)=1/(z^2-1)ではなく、
  
  f(z)=1/(z^2-1)^(n+2)としてn+2位としたのでしょうか？
  f(z)=1/(z^2-1)の1位でも極を持つためf(z)=1/(z^2-1)^(n+2)とする理由がわかりません。

  
    補足日時：2022/08/04 00:11

• 以前mtrajcpさんに解答を頂いたのですが解答が消えてしまい困っています。
  どうか画像に関する赤い下線部のf(x)=の式の作り方を今一度書いて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/08/04 11:47

• 補足ですいません。
  
  「1/(z+1)=Σ_{m=-∞～∞}a(m)(z-1)^(m+1)
  
  z→1の時左辺は収束するから右辺も収束するから
  m≦-2の時　a(m)=0でなければならない」
  
  に関して、左辺と右辺は収束するため、積分できてしまう為、コーシーの積分定理により0になってしまうと考えたのですが、なぜ0にならないのでしょうか？a(m)=0としたことで右辺は収束できなくなり積分できないため、a(m)=0として0にしないようにしたのでしょうか？
  
  また、消去されてしまった質問についてで申し訳ないのですが、llf(x)ll=√(f(x),f(x))と出来る理由を教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/08/05 10:23

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/02 17:25

f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)

の時z=π/2でn+2位の極であって1位の極ではないので、
a(n-k)=1/(n)! lim[z->a](d/dz)^(n)(z-π/2)^kf(z)
は
z=π/2でn+2位なので
aをbに変え
nをmに変え
k=n+1とすると
正しくは

b(m-(n+2))=1/(m)!lim[z->π/2](d/dz)^(m){(z-π/2)^(n+2)f(z)}

です

f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
が
z=π/2で(n+2)位の極を持つから
0<|z-π/2|<πで
tan(z)/(z-π/2)^(n+1)=Σ_{m=0～∞}b(m-n-2)(z-π/2)^(m-n-2)
整数m≧0の時
b(m-n-2)=1/(m)! lim[z->π/2](d/dz)^(m){(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}
b(m-n-2)=1/(m)! lim[z->π/2](d/dz)^(m){(z-π/2)tan(z)}

res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)=b(-1)
だから
m-n-2=-1
m=n+1とすると

b(-1)={1/(n+1)!}lim[z->π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
だから
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim[z->π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/02 13:34

画像の a(n) の式って、

a(n-k) = (1/n!) lim[z→c] (d/dx)^n { f(z) (z-c)^k }
のことですね。この a( ) は、
f(z) が　z = c に　k 位の極を保もつ場合にローラン展開
f(z) = ∑[n=0→∞] a(n-k) (z-c)^(n-k) の係数になっています。

今回導こうとしている式は、やや混乱しているようですが、
Res[tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2]
= (1/(n+1)!) lim[z→π/2] (d/dx)^(n+1) { f(z) (z-c) }
でしょうか。

tan(z)/(z-π/2)^(n+1) は z = π/2 に n+2 位の極を持ち、
Res[f(z),c] というのは a(-1) のことですから、
写真の式に　f(z) ← tan(z)/(z-π/2)^(n+1),
　　　　　　c ← π/2,
　　　　　　k ← n+2,
　　　　　　n ← n+1　　←[＊]
をあてはめると
Res[tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2] = a(-1)
= (1/(n+1)!) lim[z→π/2] (d/dx)^(n+1) { tan(z) (z-π/2) }
になります。導きたい式は、結果的に正しいようです。

過去の質問で何度も回答しているように、話が混乱するのは
使う式と導きたい式とで n を異なる意味に使っているからですよ。
あてはめるときの [＊] が諸悪の根源だと思います。



補足の追加質問についても、r が何なのかとか a が何なのかとか
ツッコミどころが満載ですが...

Res[f(z),a] = (1/(n-1)!) lim[z→a] (d/dx)^(n-1) { f(z) (z-a)^n }
が成り立つためには、f(z) が z = a に n 位の極を持つ必要があります。
f(z) = 1/(z-1)^2 は z = 1 に 2 位の極を持ちますから、
この式は n = 2 のときだけ成り立ちます。この式から出発して
変数 n を持つ式　a(n) = (1/(n+1)!) lim[z→a] (d/dx)^(n+1) { 1/(z-1) }
が導けるワケがありません。
これもまた、n が何を表すのか見失った結果の混乱でしょう。

写真の式を、ローラン展開から離れて
単に a( ) を右辺のように定義する式と見た場合、
　　　　　　f(z) ← 1/(z-1)^2,
　　　　　　c ← 1,
　　　　　　k ← 1,
　　　　　　n ← n+1　　←[＊]
であてはめれば
a(n) = (1/(n+1)!) lim[z→a] (d/dx)^(n+1) { 1/(z-1) }
という式にはなります。
ただし、k の値が f(z) の z = 1 での極の位数でないため、
この a(n) はローラン展開の係数ではありません。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/02 09:30

f(z)=tan(z)がz=π/2で1位の極を持つから

0<|z-π/2|<πで
tan(z)=Σ_{n=0～∞}a(n-1)(z-π/2)^(n-1)
a(n-1)=(1/n!)lim_{z→π/2}(d/dz)^n{tan(z)(z-π/2)}
a(n-1)=1/(n)! lim[z->a](d/dz)^(n)(z-π/2)f(z)
となるのです

f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
の時z=π/2でn+2位の極であって1位の極ではありませんだから

a(n-1)=1/(n)! lim[z->a](d/dz)^(n)(z-π/2)f(z)
は
間違いです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ならば
f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
の時z=π/2でn+2位の極であって1位の極ではないので、
a(n-k)=1/(n)! lim[z->a](d/dz)^(n)(z-π/2)^kf(z)
はz=π/2でn+2位なので正しくは
a(n-(n+2))=1/(n)! lim[z->a](d/dz)^(n)(z-π/2)^(n+2)f(z)となるのでしょうか？

お礼日時：2022/08/02 16:21