「自然数Nを5進法で表すと3桁の数abcになり、7進法で表すと3桁の数cabになるという。a,b,c

「自然数Nを5進法で表すと3桁の数abcになり、7進法で表すと3桁の数cabになるという。a,b,cを求めよ。また、Nを10進法で表せ。」
という問題なんですけど、解説の「ここで③から…」のところからよくわからないので、教えて欲しいです！

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/07/06 12:24

5進法のabcは5²×a + 5¹×b +5⁰×c　の事を意味する

つまり25a+5b+c　 [但しa,b,c<5]

7進法のcabc7²×c + 7¹×a +7⁰×b　の事を意味する
つまり49c+7a+b　 [但しa,b,c<7]

但しの部分は、両方を満たさないとイケナイから、a,b,c<5

両方は同じ大きさだから
25a+5b+c=49c+7a+b

移項して、18a+4b=48c
両辺を2で割ると、9a+2b=24c

a,b,cは5未満だから、a,bの最大値は4。
だから、9a+2bは(9×4 + 2×4)以下。

9×4 + 2×4=44なので9a+2bは44以下。
9a+2b=24cだったから、24cも44以下。

∴24c≦44
c≦44/24=11/6=1.8

ｃは整数でないとイケナイからc≦1.8を満たす整数cは1。
∴c=1

9a+2b=24cに代入すると9a+2b=24
2b=24-9a=3(8-3a)

8-3a≧0でaは4以下だったから、aは0,1,2のいずれかになる。
a=0の時：2b=24→b=12 bは4以下だから、答えにならない。
a=1の時：2b=15→b=7.5 bは整数でないとダメだから、答えにならない。
a=2の時：2b=6→b=3 bは整数で４以下だから○

→a=2,b=3だと解り、上のc=1
a=2,b=3,c=1
5進法のabcは25a+5b+cだったから代入すると
25×2+5×3+1=66

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2018/07/09 08:58