整数問題 11 素数再びの再び

自然数 x,y を用いて
p²=x³+y³
と表せるような素数 p を全て求めよ.
また、このときの x, y を全て求めよ.

補足

与式は因数分解出来そう、でも一筋縄ではいかないのが素数の問題ですよね

試行錯誤中です、

識者の方々のアプローチも教えてください

from minamino

質問者からの補足コメント

• 

  mtrajcpさん、おはようございます
  
  mtrajcpさんは秒殺で解いてしまうので
  
  どうしても返信が遅くなりまして申し訳ございません
  
  今回の私の答案は、全く自信のない答案ですが
  
  ご評価、ご指導ください
  
  from minamino

  
  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/30 08:55

• 

  ご返答ありがとうございます
  
  自分でも考えてみました
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/30 09:31

• 

  ご回答ありがとうございます
  
  >いずれにしろ、mod 3 での考察だけで終わっているから
  p²=x³+y³ を解いたことにはならないんじゃないの？
  
  それは、あり得ないです
  
  全ての整数をmod 3 の世界で議論しているのです
  
  それが合同式の強みなのです
  
  貴方の考え方は、とても頂けるものではありません
  
  どこがシンプルなのか意味不明です
  
  では
  
  from minamino

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/30 11:58

• 

  >補足の答案は、正直、何やってるのか解らない。
  
  どこが理解できないのでしょうか？
  
  よく読んでください。
  
  質問は受け付けます
  
  from minamino

    補足日時：2023/04/30 12:11

• 

  >「３の累乗にならず」がなぜ「不適」になるのか、説明がない。
  >また、p≡0(mod3) に限定できたとしても、そのことから p=3 と言える理由の記述がない
  
  そこまで記述するのは冗長です

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/30 12:45

• 

  3 の倍数の素数は 3 だけです
  
  (3l+1)(3p+1) が、3² になりますか？
  
  始めから、答えは, 3 として議論を始めているのです
  
  それ以降は、その証明を示しています

    補足日時：2023/04/30 12:59

• 

  もともと
  
  貴方の数学力は疑問を持っていたが、、、、
  
  貴方は数学に稚拙すぎる
  
  今まで何度と回答をしているが、まともな回答が全く無い
  
  そもそも、人様に数学を教えられるレベルでない
  
  自分の数学力の稚拙さを自覚して欲しい
  
  from minamino

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/30 14:58

• 

  もうmtrajcp教授と呼ばせてください。
  
  感銘しました
  
  早速、答案を改めました
  
  ご評価、ご指導ください
  
  何卒宜しくお願い致します

  
  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/30 21:21

• 

  補足
  3L+1 に適する L は、 1 のみ
  これより、3L+1=4
  これにより　(3L+1){(3L+1)²-3xy}は、 4の倍数
  4 の倍数が素数の二乗にはならないで、いいでしょうか？
  
  C　以下の内容は必要ありませんでした
  
  from minamino

    補足日時：2023/04/30 22:49

• 

  mtrajcp教授　おはようございます
  
  
  答えを改めました
  
  どうか、ご評価、ご指導ください
  
  また、これで補足が尽きましたので
  
  如何に、続きを用意しました
  
  https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13448529.html
  
  from minamino

  
  No.18の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/01 08:26

No.35 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/04 10:55

以下がp=3と仮定しないでp=3となる事の証明なのです

(これ以外の証明は認めません)
--------------------------------------
x,y自然数
p素数
p^2=x^3+y^3

x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)

p^2=(x+y)(x^2-xy+y^2)

x+y≧2
x^2-xy+y^2=(x-y)^2+3xy≧3
だから

x+y=p …(1)
x^2-xy+y^2=p
だから
x+y=p=x^2-xy+y^2

x+y=x^2-xy+y^2 …(2)

x=yと仮定すると
p^2=2x^3
左辺は奇数右辺は偶数となって矛盾するから
x≠y
(x-y)^2≧1
x^2+y^2-2xy≧1
↓両辺にxyを加えると
x^2+y^2-xy≧xy+1

↓(2)x+y=x^2-xy+y^2 から

x+y≧xy+1
↓両辺に-x-yを加えると
0≧xy-x-y+1
0≧(x-1)(y-1)

↓(x-1)(y-1)≧0だから

(x-1)(y-1)=0

x=1.または.y=1

x=1のとき …(3)
↓これを(2)に代入すると
1+y=1-y+y^2
↓両辺に-1-yを加えると
0=-2y+y^2
0=y(y-2)
↓y>0だから
y=2
↓これと(3)を(1)に代入すると
∴
p=3

y=1のとき …(4)
↓これを(2)に代入すると
x+1=x^2-x+1
0=x^2-2x
0=x(x-2)
x=2
↓これと(4)を(1)に代入すると
∴
p=3

∴
p=3

この回答へのお礼

教授こんにちは。

この問題

p²=(x+y)(x²-xy+y²)。
ここでx+y≧x²-xy+y²は(x-y)²+(x-1)²+(y-1)²≦2だから
(x,y)=(1,1),(2,1),(1,2)のみ。
(x,y)=(2,1),(1,2)のときp=3。
これ以外ではすべて2<x+y<x²-xy+y²だからだめ。


で、よろしいのではないのでしょうか？

何卒よろしくお願い申し上げます。

お礼日時：2023/05/06 13:51

No.36 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/06 15:33

x=y=3のとき

x+y=6<9=9-9+9=x^2-xy+y^2
だから
x+y≧x^2-xy+y^2は成り立ちません

x=y=3のとき
(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=8>2
だから
(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2≦2も成り立ちません

x,y自然数
p素数
p^2=x^3+y^3
で
ある事以外の仮定をしてはいけません

x+y≧x^2-xy+y^2
(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2≦2

はそれが
成り立つ事を証明しなければ

使ってはいけません

No.34 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/02 21:03

p=7　のとき、法は３にとるのはよいけれども

p=3と仮定してはいけません
p=3と仮定して得られた結果は
p=3のときしか成り立たないのです
だから

p=3のときしか成り立たない結果を
p=7のときに流用するのは
(論理のすり替え等の1種の詐欺的手法なので)
やめましょう

p=3と仮定しないでp=7のときを証明してください

この回答へのお礼

教授の仰りたいことがわかりました

P=3 以外の候補がないか？というこですね

P=3 以外は、あり得ません

以下
https://imgur.com/a/2sn58nV

何卒宜しくお願い致します

お礼日時：2023/05/02 22:00

No.33 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/02 20:43

p=7　のとき、法は３にとるのはよいけれども

p=3と仮定してはいけません
p=3と仮定して得られた結果は
p=3のときしか成り立たないのです
だから
p=3のときしか成り立たない結果を使えば
3と7は違うのだから
必ずp=7は不適切になるのです

3と7は違うのだから
p=3 ならば　p=7でないのは当然なのです

この回答へのお礼

教授
本当に遅くまでありがとうございます。

そもそも、 答案でも示しましたが
本問題では、x+y≧x²-xy+y²
が成立しており, 適するのは p=3 のみです.

何卒宜しくお願い致します

お礼日時：2023/05/02 21:32

No.32 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/02 20:20

P=7　のとき、法は３にとるのはよいけれども

p=3と仮定してはいけません

法を3とする事と
p=3と仮定する事は違うのです

p^2≠9
だから

p^2=9=(x+y)(x^2-xy+y^2)は間違いです


[I]jについて3≦3j≦9
も
p=3mの場合にしか成り立たないので間違いです

[Ⅱ]x+y=3k
も
p=3mの場合にしか成り立たないので間違いです

p=3m-1,p=3m-2の場合の
証明が無いので間違いです

この回答へのお礼

教授

遅くまでありがとうございます

>p=3と仮定してはいけません

その理由が分かりません

何卒宜しくお願い致します

お礼日時：2023/05/02 20:36

No.31 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/02 17:24

p=7 なら

表の⑦のパターンになり
不適切となる
事を証明してください

p=7の時の証明でp=3と仮定してはいけません

この回答へのお礼

教授
お世話になっております。

申し訳ございません

P=7　のとき、法は３にとります

以下、私の答案です

https://imgur.com/TUk8qeK

何卒宜しくお願い致します

お礼日時：2023/05/02 17:57

No.30 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/02 17:19

では

p=7 なら
表の⑦のパターンになり
不適切となる
事を証明してください

この回答へのお礼

リンクがうまくいかなかったみたい

https://imgur.com/a/tetWpgZ

お礼日時：2023/05/02 22:07

No.29 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/02 16:50

p=3 である事は証明すべき結論であって

証明すべき結論を仮定してはいけません

p=3 ならば　p=3 になるのは当然なのです

これをトートロジー(同語反復)という

p^2=x^3+y^3
と表せるような素数p
は
p=3以外に存在しない事を証明しなければいけません
そのためにも
p=3m-2,p=3m-1
p=5,7,11,13,…
の場合p^2=x^3+y^3となる整数
x,yが存在しない事を証明しなければいけません

この回答へのお礼

教授　再三申し訳ございません。

>証明すべき結論を仮定してはいけません

答案の言い回しが良くなかったようです

結論でなく p=3 ならと仮定して、法を 3 にとった世界では、この問題は

どの様になるのか検証しているのです

実際、p=7 なら　表の⑦のパターンになり不適切となります

お礼日時：2023/05/02 17:11

No.28 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/02 16:22

p=7

の場合

p^2=7^2=49≠9
だから

p^2≠9
だから

p^2=9=(x+y)(x^2-xy+y^2)は間違いです

この回答へのお礼

教授
何度も申し訳ございません

答案にも始めに断りましたが 求めるp=3 として議論を始めています

この議論に問題がありますか？

何卒宜しくお願い致します

お礼日時：2023/05/02 16:34

No.27 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/02 15:52

p^2=9=(x+y)(x^2-xy+y^2)

は
p=3mの場合にしか成り立たないので間違いです


[I]jについて3≦3j≦9
も
p=3mの場合にしか成り立たないので間違いです

[Ⅱ]x+y=3k
も
p=3mの場合にしか成り立たないので間違いです

p=3m-1,p=3m-2の場合の
証明が無いので間違いです

この回答へのお礼

教授
こんにちは

ご指摘の
>p^2=9=(x+y)(x^2-xy+y^2)は
>p=3mの場合にしか成り立たないので間違いです

>p=3mの場合にしか成り立たないので間違いです

何故、間違いなのか？、何を主張しているのかわかりません

教えてください。

何卒宜しくお願い致します。

お礼日時：2023/05/02 16:17