整数問題８ 素数

a-b-8 と b-c-8 が素数となるような
素数の組 (a, b, c )をすべて求めよ.

補足

何処から手を出していいやら悩んでいます
素数の定義は分かっていますので、そこら辺から突破口を探りたいと思います

現在試行錯誤中です、

識者の方々のアプローチを教えてください

質問者からの補足コメント

• 

  おはようございます
  
  早速ですが
  
  同じ問題をネットで探しました
  
  https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …
  
  何卒宜しくお願い致します。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/13 12:01

• 

  ご返信ありがとうございます。
  
  ご返信が遅くなりまして申し訳ありません
  
  この答案が今の精一杯です
  
  ご評価、ご指導ください

  
    補足日時：2023/04/16 20:08

• 

  ご返答ありがとうございます
  ご返信が遅くなりまして申し訳ありません
  
  この答案が今の精一杯です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/16 20:13

• 

  ご回答ありがとうございました。
  
  ご返信が遅くなりまして申し訳ありません
  
  この答案が今の精一杯です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/16 20:14

• 

  ご回答ありがとうございます
  
  ご返信が遅くなりまして申し訳ありません
  
  この答案が今の精一杯です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/16 20:16

• 

  mtrajcp　さん、こんにちは
  
  今回も重要な過ちをご指摘ありがとうございます。
  
  少し、答案に追加しました
  
  毎度申し訳ございません。
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/17 15:27

• 

  幾度もご回答をいただいていて申し訳ございません
  
  方針をザックリ変えて、答案作成しました。
  
  多くの人が、３を法にとっていることが不思議でしたが
  
  それも解決しました
  
  詳しくは答案に記しました
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.11の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/19 19:52

• 

  syotao先生、こんばんは
  
  病み上がりで返信が遅くなりまして申し訳ございません
  
  やっと出来た答案です
  
  ご評価、ご指導ください
  
  from minamino

  
  No.12の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/19 19:55

• 

  こんにちは。
  
  補足拝見させていただきました
  
  こんなにも人にためにやってくださる貴殿の
  
  人格にも感動いたしました
  
  まだまだの数学ですが
  
  これからもよろしくお願いします。
  
  from minamino

  No.14の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/22 03:07

No.14 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/21 10:43

補足2023/04/19 19:52

については図の通り

No.13 回答者： syotao 回答日時： 2023/04/20 14:23

ok

あなたの解答はぼくよりすばらしい！

No.12 回答者： syotao 回答日時： 2023/04/18 11:02

No.6補足

No.6でｑが3より大きい素数ならｑ≡1、か　2（mod.3）で
20≡2、10≡1（mod.3）だから
ｑ≡1（mod.3）ならa＝20＋ｑ≡0（mod.3）
ｑ≡2（mod.3）ならｂ＝10＋ｑ≡0（mod.3）
つまり素数ｑ＞3ならa、ｂどちらかが3の倍数になるので
ｑ＞3は不適となります。
この解釈がわかりやすいかも。

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/17 21:16

補足2023/04/17 15:27

「
a>b>c の大小関係から　n>m
」
は間違いです

例えば
b=19　のとき
a=b+10=29
a=29>19=b

a>b>c となるけれども

b=19=16+3=16*1+(2*2-1)=16m+(2L-1) →m=1,L=2
a=29=16+13=16*1+(2*7-1)=16n+(2k-1) →n=1,k=7

n=m

k=L+5
となるから

n>m
は間違いです

b=31=16+15=16*1+(2*8-1)=16m+(2L-1)→m=1,L=8
a=41=32+9=16*2+(2*5-1)=16n+(2k-1)→n=2,k=5
だから
n=m+1>m
n>m
k+3=L
だから

a-b-8=2{8(n-m)+(k-L)-4}=2{8(2-1)+(5-8)-4)}=2

だから
「
(B)はa-b-8 が合成数となり不適
∴b≧17では合成数となり
」
は間違いです

n>mであっても
n=m+1
k+3=L
のとき　a-b-8=2　
となります

a-b-8=2　は素数です

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/17 21:12

補足2023/04/17 15:27

「
a>b>c の大小関係から　n>m
」
は間違いです

例えば
b=19　のとき
a=b+10=29
a=29>19=b

a>b>c となるけれども

b=19=16+3=16*1+(2*2-1)=16m+(2L-1) →m=1,L=2
a=29=16+13=16*1+(2*7-1)=16n+(2k-1) →n=1,k=7

n=m

k=L+5
となるから

n>m
は間違いです

b=23=16+7=16*1+(2*4-1)=16m+(2L-1)→m=1,L=4
a=33=32+1=16*2+(2*1-1)=16n+(2k-1)→n=2,k=1
だから
n=m+1>m
n>m
k+3=L
だから

a-b-8=2{8(n-m)+(k-L)-4}=2{8(2-1)+(1-4)-4)}=2

だから
「
(B)はa-b-8 が合成数となり不適

∴b≧17では合成数となり
」
は間違いです

n>mであっても
n=m+1
k+3=L
のとき　a-b-8=2　
となります

a-b-8=2　は素数です

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/17 19:32

補足2023/04/17 15:27

「
a>b>c の大小関係から　n>m
」
は間違いです

例えば
b=19　のとき
a=b+10=29
a=29>19=b
a>b>c となるけれども

b=19=16+3=16*1+(2*2-1)=16m+(2L-1) →m=1,L=2

a=29=16+13=16*1+(2*7-1)=16n+(2k-1) →n=1,k=7

n=m
k=L+5

となるから

n>m
は間違いです

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/17 16:37

補足2023/04/17 15:27

ここで整数n,k,m,Lを使う,ただし n>m
の

n>m

は間違いです

a-b-8=2 ,,,, a=b+10 …①

としているのだから
必ず

n=m

となるのです(誤魔化すのはやめましょう)

(B)はa-b-8 が合成数となり不適

∴b≧17では合成数となり

というのは間違いです

a,bは奇数だから
a-b-8は偶数素数だから必ず
a-b-8=2
となるのです
a-b-8=2だから
a=b+10
となるのです

例えば
b=19　のとき
a-b-8=2
a=b+10=29
だから

b=19
a-b-8=2
a=29

いずれも素数です

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/17 16:14

補足2023/04/17 15:27

(B)はa-b-8 が合成数となり不適

∴b≧17では合成数となり

というのは間違いです

a,bは奇数だから
a-b-8は偶数素数だから必ず
a-b-8=2
となるのです
a-b-8=2だから
a=b+10
となるのです

例えば
b=19　のとき
a-b-8=2
a=b+10=29
だから

b=19
a-b-8=2
a=29

いずれも素数です

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2023/04/17 15:33

条件よりa＞ｂ＞ｃ･･･①

a-ｂ-8が奇素数ならa-ｂは奇数だからa、ｂどちらかは
偶数、すると①よりｂ＝2でなければいけないが再び①より
ｃが2より小さい素数ということになって矛盾
したがって、a-ｂ-8＝2　でなければいけない。つまり
a-ｂ＝10･･･②
つぎに
ｂ-ｃ-8＝ｑとおいてｑが奇素数ならば上と似た議論でｃ＝2となるから
ｂ＝10＋ｑこれを②にいれてa＝20＋ｑ
ところが3より大きい素数は奇数でしかも3の倍数でないから6ｍ＋1か6ｍ＋5の形だからｑ＞3ならば
a、ｂが同時に素数になることができない。
したがってｑが奇素数ならばｑ＝3、これからｂ＝13、a＝23
さて
ｂ-ｃ-8＝ｑでｑが偶数つまりｑ＝2ならばｂ-ｃ＝10、ｂ＝ｃ＋10
これを②にいれてa＝20＋ｃ
上と同じ議論でｃ＞3ならばa、ｂが同時に素数になれないから
ｃ＝2　か　ｃ＝3　だけども適するのはｃ＝3、したがってｂ＝13、a＝23
ゆえに求めるa、ｂ、ｃ　の組は
（a、ｂ、ｃ）＝（23、13、2）と（23、13、3）の2組に限ります。

他の方の解答は見てないのでダブりご容赦。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/17 10:15

補足

2023/04/16 20:08
2023/04/16 20:13
2023/04/16 20:14
2023/04/16 20:16
いずれも

n=m,k=L+5
とすれば
2{8(n-m)+(k-L)-4}=2

下から3行目
「(B)はa-b-8 が合成数となり不適」は間違いです

a-b-8=2　は素数だから適です

a,bは奇数だから
a-b-8は偶数素数だから
∴
a-b-8=2