整数問題８ 素数

a-b-8 と b-c-8 が素数となるような
素数の組 (a, b, c )をすべて求めよ.

補足

何処から手を出していいやら悩んでいます
素数の定義は分かっていますので、そこら辺から突破口を探りたいと思います

現在試行錯誤中です、

識者の方々のアプローチを教えてください

質問者からの補足コメント

• 

  おはようございます
  
  早速ですが
  
  同じ問題をネットで探しました
  
  https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …
  
  何卒宜しくお願い致します。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/13 12:01

• 

  ご返信ありがとうございます。
  
  ご返信が遅くなりまして申し訳ありません
  
  この答案が今の精一杯です
  
  ご評価、ご指導ください

  
    補足日時：2023/04/16 20:08

• 

  ご返答ありがとうございます
  ご返信が遅くなりまして申し訳ありません
  
  この答案が今の精一杯です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/16 20:13

• 

  ご回答ありがとうございました。
  
  ご返信が遅くなりまして申し訳ありません
  
  この答案が今の精一杯です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/16 20:14

• 

  ご回答ありがとうございます
  
  ご返信が遅くなりまして申し訳ありません
  
  この答案が今の精一杯です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/16 20:16

• 

  mtrajcp　さん、こんにちは
  
  今回も重要な過ちをご指摘ありがとうございます。
  
  少し、答案に追加しました
  
  毎度申し訳ございません。
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/17 15:27

• 

  幾度もご回答をいただいていて申し訳ございません
  
  方針をザックリ変えて、答案作成しました。
  
  多くの人が、３を法にとっていることが不思議でしたが
  
  それも解決しました
  
  詳しくは答案に記しました
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.11の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/19 19:52

• 

  syotao先生、こんばんは
  
  病み上がりで返信が遅くなりまして申し訳ございません
  
  やっと出来た答案です
  
  ご評価、ご指導ください
  
  from minamino

  
  No.12の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/19 19:55

• 

  こんにちは。
  
  補足拝見させていただきました
  
  こんなにも人にためにやってくださる貴殿の
  
  人格にも感動いたしました
  
  まだまだの数学ですが
  
  これからもよろしくお願いします。
  
  from minamino

  No.14の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/22 03:07

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/15 21:07

No.3 すげー。

正直、私には解けなかったので、感動した。
答え解った上で、ちょっと別の書き方をしてみる。

a-b-8 = x,　…[1]
b-c-8 = y　…[2]
と置く。 a,b,c,x,y はみな素数である。

a,b,c,x,y ≧ 2 だから、[1][2] より
a = b+8+x ≧ 2+8+2 = 12,
b = c+8+y ≧ 2+8+2 = 12.
よって、 a,b は 2,3,5,7,11 ではない。　…[3]

[1] を mod 2 へ移行して、 a - b ≡ x (mod 2).
[3] より a,b は ≡0 (mod 2) ではないから、
a ≡ b ≡ 1, x ≡ 0 (mod 2) だと判る。
x は 2 で割り切れる素数なので、 x = 2.
[1] へ代入して、 a = b + 10.　…[4]

これを mod 3 へ移項して、 a ≡ b + 1 (mod 3).
[3] より a,b は ≡0 (mod 3) ではないから、
a ≡ 2, b ≡ 1 (mod 3) だと判る。　…[5]

1)　ここで c が 2, 3 でないと仮定すると、
上記で [1] にしたのと同じことを [2] に行って
b ≡ 2, c ≡ 1 (mod 3) が導けてしまう。
b について矛盾しており、この場合には解は無い。

2)　c = 2 の場合、
[2] へ代入して、 b = y + 10.　…[6]
これを mod 3 へ移項して、
b ≡ y + 1 (mod 3).
[5] より y ≡ 0 (mod 3) だと判る。
y は 3 で割り切れる素数なので、 y = 3.
[6] へ代入して b = 13,
[1] へ代入して a = 23.
この解は a,b,c,x,y が素数となっており、題意に適する。

2)　c = 3 の場合、
[2] へ代入して、 b = y + 11.　…[7]
これを mod 2 へ移項して、
b ≡ y + 1 (mod 2).
[3] より b ≡ 0 (mod 2) ではないから、
b ≡ 1, y ≡ 0 (mod 2) だと判る。
y は 2 で割り切れる素数なので、 y = 2.
[7] へ代入して b = 13,
[1] へ代入して a = 23.
この解も a,b,c,x,y が素数となっており、題意に適する。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/13 16:30

cは素数だから

c≧2…(1)

b-c-8は素数だから
b-c-8≧2
↓これと(1)を加えると
b-8≧4
b≧12
bは素数だから
b≧13…(2)
bは奇数

a-b-8は素数だから
a-b-8≧2
↓これと(2)を加えると
a-8≧15
a≧23
aは奇数

a,bは奇数だから
a-b-8は偶数素数だから
a-b-8=2
a=b+10

1)cが奇数のとき
b,cが奇数だから
b-c-8は偶数素数だから
b-c-8=2
b=c+10

c≠3と仮定すると
cは3でない素数で3の倍数でないから
c=3n+1.または.c=3n+2 となる整数nがある
c=3n+2 のとき
b=c+10=3n+12=3(n+4)≧13
は3の倍数だから素数でない
c=3n+1 のとき
a=b+10=c+20=3n+21=3(n+7)≧23
は3の倍数だから素数でないから

c=3
b=13
a=23
a-b-8=2
b-c-8=2
だから
(a,b,c)=(23,13,3)

2)cが偶数のとき
c=2
b≠13と仮定すると
b-c-8=b-10≠3
は3でない素数で3の倍数でないから
b-10=3n+1.または.b-10=3n+2 となる整数nがある
b-10=3n+2 のとき
b=3n+12=3(n+4)≧13
は3の倍数だから素数でない
b-10=3n+1 のとき
a=b+10=3n+21=3(n+7)≧23
は3の倍数だから素数でないから

b=13
a=23
a-b-8=23-13-8=2
b-c-8=13-2-8=3
だから
(a,b,c)=(23,13,2)

∴
(a,b,c)=(23,13,2)
または
(a,b,c)=(23,13,3)

No.2 回答者： kmee 回答日時： 2023/04/13 13:27

なるほど。

「連続する素数の存在」といった問題は未解決のことが多いので、 (c + 20, c + 10, c) ができた時点でその先の検証を放棄してしまいました。

誤) このような3つ素数の組み合わせが有限か無限かは、多分未解決。
正) このような3つ素数の組み合わせは(23,13,3)しか無い(有限)。

> (a,b,c) = (b + 10, b, b - 10)が全て素数となる組み合わせならば (a,b,c) = (b + 10, b, 2) も「 b-c-8 が素数となる」も満す。

(23,13,3) が成立するので(23,13,2) も条件を満す。


> 1.(b + 10, b, b - 10)が全て素数になる組み合わせは有限個しか無いことを証明する
→ 証明できた。

No.1 回答者： kmee 回答日時： 2023/04/13 11:41

無理なのでは？

p,q を素数とする。
b - c - 8 = p とすると
b = p + c + 8 より
b >2 よって bは奇数 ...(1)
bは奇数なので、 p=2,c ≠ 2 または p≠ 2,c=2 ...(2)

a - b - 8 = q のすると
a = q + b + 8 より
a >2 よって aは奇数 ...(3)
aは奇数なので、 q=2,b ≠ 2 または q≠ 2,b=2 ...(4)
(1)(4)から q=2
よって、a = b + 10

ここで p = 2 とすると
b = c + 10 より
(a,b,c) = (c + 20, c + 10, c) = (b + 10, b, b - 10)
となる。
このような3つ素数の組み合わせが有限か無限かは、多分未解決。

c=2のとき ｂ-c -8 = b-10 なので
(a,b,c) = (b + 10, b, b - 10)が全て素数となる組み合わせならば (a,b,c) = (b + 10, b, 2) も「 b-c-8 が素数となる」も満す。
よって、(b + 10, b, b - 10)が全て素数になる組み合わせが無限にあれば、
(b + 10, b, 2) も無限にあることになる。


全て求めるには
1.(b + 10, b, b - 10)が全て素数になる組み合わせは有限個しか無いことを証明する
2.全ての(b + 10, b, b - 10)が全て素数になる組み合わせの法則を証明し、式で表現する
のいずれかが必要です。