整数問題７ ３文字の整数問題

正の整数 a, b, c は、全て 1 と異なり、どの２つとも等しくなく
2abc=2a+5b+10c
であるとき、a, b, c の値を求めよ. ただし、a, b, c の中で c が最大数とする.

補足

合同式？　積形？、等々、試行錯誤中です、考えております

識者の方々の考え方も教えてください。

質問者からの補足コメント

• 

  ご返信が遅くなりまして申し訳ありません。
  
  今日はドタバタしていて、これから用事もありまして
  
  返信は明日以降になるとおもいます
  
  その際はよろしくお願いします。
  
  from minamino

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/10 15:35

• 

  ご返信が遅くなりまして申し訳ありません。
  
  おはようございます
  
  私の答案が出来ましたので
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/12 08:33

• 

  こんにちは
  
  いつもご指摘ありがとうございます。
  
  答案も大幅に考え直しました
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/12 13:30

• ご面倒をおかけしますが、何卒宜しくお願い致します
  
  答案　追加します
  
  ご評価ください

  
  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/12 16:16

• 

  最小値(a,b)=(3,2)は,
  4≦c≦8 に於いてcの値の如何を問わず(a,b)の最小値は(3,2)です

    補足日時：2023/04/12 16:26

• 

  いつも的確なご指摘ありがとうございます。
  
  貴方様のお陰で、厳密な数学を学ばせて頂いております
  
  今後も
  
  minamino
  
  をお願い致します。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/13 11:38

No.5 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/12 16:52

補足2023/04.12 16:16の

bは偶数より,最小のc=3,2c^3>2abc←→c^2>ab,17c>2a+5b+10c
は

元の
cの数が最大故に(与式)は2c^3>2abc←→c^2>ab,17c>2a+5b+10c
bは偶数より,cの最小値は3
でよい

c=3のとき①②9>ab…①',21>2a+5b…②'

①',②'を同時に満たす(a,b)=(3,2),(2,4),(4,2)
で
(a,b)=(3,2)のとき
c=3だから a=3=c となってa<cに矛盾するから不適

(a,b)=(2,4)のとき
c=3だから b=4>3=c となってb<cに矛盾するから不適

(a,b)=(4,2)のとき
c=3だから a=4>3=c となってa<cに矛盾するから不適

(a,b)=(3,2),(2,4),(4,2) のどれも不適です

(a,b)=(2,4),(4,2)を不適としているのに
なぜ
(a,b)=(3,2)が適なのですか?

c=3のときとしているのに
(a,b)=(3,2)を(与式)に代入して
(a,b)=(3,2,8)
c=8　となって　c=3　に矛盾しているから間違いです
だから
c=3 のときとしてはいけません
c≧3 としなければなりません
だから
9>ab,21>2a+5b
は成り立たないのです
他の方法を考えてください

最小値(a,b)=(3,2)は,
4≦c≦8 に於いてcの値の如何を問わず(a,b)の最小値は(3,2)
だ
というのならば

c=3のとき①②9>ab…①',21>2a+5b…②'などとはしてはいけません

「9>ab,21>2a+5b」に関係無く
4≦c≦8 に於いてcの値の如何を問わず(a,b)の最小値は(3,2)
であることをいえばよいのです

この回答へのお礼

いつもありがとうございます

お礼日時：2023/04/19 19:59

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/12 14:36

補足2023/04.12 13:30の

bは偶数より,最小のc=3,2c^3>2abc←→c^2>ab,c>(2a+5b)/7
は

元の
cの数が最大故に(与式)は2c^3>2abc←→c^2>ab,c>(2a+5b)/7
bは偶数より,cの最小値は3
でよい

c=3のとき①②9>ab…①',21>2a+5b…②'

①',②'を同時に満たす(a,b)=(3,2),(2,4),(4,2)
で
(a,b)=(3,2)のとき
c=3だから a=3=c となってa<cに矛盾するから不適

(a,b)=(2,4)のとき
c=3だから b=4>3=c となってb<cに矛盾するから不適

(a,b)=(4,2)のとき
c=3だから a=4>3=c となってa<cに矛盾するから不適

(a,b)=(3,2),(2,4),(4,2) のどれも不適です

c=3のときとしているのに
(a,b)=(3,2)を(与式)に代入して
(a,b)=(3,2,8)
c=8　となって　c=3　に矛盾しているから間違いです
だから
c=3 のときとしてはいけません
c≧3 としなければなりません
だから
9>ab,21>2a+5b
は成り立たないのです
他の方法が考えてください

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/12 10:22

補足2023/04.12 08:33の

cの数が最大故に(与式)は2c^3>2abc←→c^2>ab,c>(2a+5b)/7…①

2abc-2a-10c=5b
2(abc-a-5c)=5b
左辺は偶数だから右辺も偶数だから
bは偶数である事から,cの最小値は3

3行目で
なぜ

c≧3　において　①　は　9>ab

といえるのですか?

c=3 ならば　9=c^2>ab →9>ab となるけれども

c>3 のときは　9>ab とはなりません

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/09 16:52

2abc=2a+5b+10c

2abc-2a-10c=5b
2(abc-a-5c)=5b
左辺は偶数だから右辺も偶数だから
bは偶数

a≧2
b≧2
bは2以上の偶数

b≧4と仮定すると
c>b≧4だから
c≧5

b≧2,c≧5→bc≧10
a≧2,c≧5→ac≧10
a≧2,b≧4→ab≧8

2abc-2a-5b-10c
=(8abc-8a-20b-40c)/4
={(1+2+5)abc-8a-20b-40c}/4
=(abc+2abc+5abc-8a-20b-40c)/4
=(abc-8a+2abc-20b+5abc-40c)/4
={a(bc-8)+2b(ac-10)+5c(ab-8)}/4
>0
となって
2abc-2a-5b-10c=0に矛盾するから
∴
b=2

a≧4と仮定すると
c>a≧4だから
c≧5

b=2,c≧5→bc≧10
a≧2,c≧5→ac≧10
a≧4,b=2→ab≧8

2abc-2a-5b-10c
={a(bc-8)+2b(ac-10)+5c(ab-8)}/4
>0
となって
2abc-2a-5b-10c=0に矛盾するから
∴
a≦3
2≦a≦3
a≠b=2だから
∴
a=3

2*3*2c=2*3+5*2+10c
12c=6+10+10c
2c=16
∴
c=8
∴
a=3,b=2,c=8

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/09 15:46

a=3

b=2
c=8

2abc=2*3*2*8=96
2a+5b+10c=6+10+80=96