整数問題 17 東大( 文系)

本題

(1) は　条件の不等式

x≦y≦z

を使って一文字で表すのかな、と

整数でよく使うアプローチ, z+z+z=3z
(2)
(1)　より簡単な気がするけど、、、、

識者の方のアプローチも教えてください。

以下問題

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質問者からの補足コメント

• 

  本題
  
  特記事項なし
  
  愚問である

  
    補足日時：2023/05/25 07:59

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/25 07:27

(1)

　1=1/(xy)+1/(yz)+1/(zx)≦3/x² → x≦√3 → x=1
すると
　1=1/y+1/(yz)+1/z≦2/y+1/y² → (y-1)²≦2
→ y≦1+√2 (y≧1 なので)
→ y≦2
すると
　y=1 のとき、1=1+2/z → 0=2/z で不可
　y=2 のとき、1=1/2+1/(2z)+1/z → z=3
したがって
　x=y=1, z=3
のみ。

(2)
AM-GM不等式から
　xyz=x³+y³+z³≧3(x³y³z³)¹/³=3xyz → 1=3
なので、与式を満たすものは無い。