不等式の変形

実数　x,y　が、-１≦ｘ+ｙ≦1　(1)、　-1≦ｘ-ｙ≦5　(2)　のとき、ｚ=3x+yの範囲を求めよ。


(1)+(2)し、-3≦3ｘ≦9

(2)　ｘ　-1　+　(1)から、、-3≦ｙ≦1

従って、-6≦z≦10

と思うのですが、誤答のようです。不等式の変形に、
問題があると思いますが、わかりません。

助けてください。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2013/10/04 14:38

＞ 敗因は安易に不等式に（-1）をかけたところにあるようですね。

＞ 式の変形に問題はなかったと思いましたが…

いや、式変形に問題はなくて、
-3 ≦ 3x ≦ 9 も
-3 ≦ y ≦ 1 も
-6 ≦ z ≦ 10 も、不等式は確かに成り立つ。
(1)(2) から -6 ≦ z ≦ 10 を導いた計算には、
何の間違いもない。

-6 ≦ z ≦ 10 は成り立つけれど、
z はその範囲の全てを動く訳ではなくて
-3 ≦ z ≦ 7 の範囲しかとらない
というだけのことで…
-6 ≦ z ≦ 10 は成立しているのです。
正しい式変形です。


これは、変形が必要十分条件か？という話です。

(1)+(2) から -3 ≦ 3x ≦ 9 を導いたときも
(1)-(2) から -3 ≦ y ≦ 1 を導いたときも、
必要条件の導出をやっていて、
(1) と (2) が成り立てば -3 ≦ 3x ≦ 9 は言えるけれども、
-3 ≦ 3x ≦ 9 が成り立ちさえすれば (1) と (2) が言える訳じゃない。
-3 ≦ y ≦ 1 も同様。

その結果、(1) と (2) から -6 ≦ z ≦ 10 は言えるけれど、
-6 ≦ z ≦ 10 でありさえすれば (1) と (2) が言える訳じゃないのです。
-6 ≦ z ≦ 10 であっても、(1)(2) が成り立たない z が出てくる。
具体的に、-6 ≦ z < -3, 7 < z ≦ 10 の範囲がそれです。

こういう事態を避けるために、A No.2 のように図を書いて
全体像を把握したほうがいいよ…と進める訳です。

式変形の問題ではないです。

No.3 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2013/10/03 22:17

u = x+y, v = x-y

x = (u+v)/2、 y = (u-v)/2
-1≦u≦1, -1≦v≦5

こう考えると、
z = 3x+y = 3(u+v)/2 + (u-v)/2 = 2u+v
最大値は、
　(u,v) = (1,5)の時で、
　z = 2・(1) + 5 = 7
最小値は、
　(u,v) = (-1,-1)の時で、
　z = 2・(-1) + (-1) = -3
となる。

技に走りすぎですか。。。


質問者さんの解法のまずいところは、
(x,y) = (3,1)の時、最大値などとしたところ。
（１）にこの値を代入すると、
-1≦3+1≦1となって、このような点は不等式で示される領域の中には存在していない。

NO２さんのおっしゃるとおり、面倒でも、地道にグラフを書いて考えることです。

この回答への補足

理解できました。敗因は安易に不等式に（-1）をかけた
ところに、あるようですね。式の変形に問題はなかったと
思いましたが…これからはグラフと検算を大切にします。

補足日時：2013/10/04 02:24

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2013/10/03 20:53

>(1)+(2)し、-3≦3ｘ≦9

(2)　ｘ　-1　+　(1)から、、-3≦ｙ≦1

従って、-6≦z≦10

と思うのですが、誤答のようです。


このような答え方をしてはいけません。

-１≦ｘ+ｙ≦1　(1)、　-1≦ｘ-ｙ≦5　(2)

の表す範囲を図示し、直線y=-3x+zを動かせてみて

どの点で、つまり(x,y)がいかなる値のときに最大、最小になるかを把握してからzを求めるべきです。

質問者のような答え方をしている子足をすくわれる問題が必ずあります。


こたえは点(3,-2)でｚは最大値z=7,点（-1,0）で最小値-3をとります。

問題によってはこの(3,-2)、（-1,0）を示さないと答えにならない場合があります。

とにかく図示する習慣をつけてください。
　

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2013/10/03 19:51

-1 ≦ x + y ≦ 1 …… (1)

-1 ≦ x - y ≦ 5 …… (2)

(1),(2)より
-2 ≦ 2x ≦ 6 …… (3)

(1),(3)より
-3 ≦ 3x + y ≦ 7

∴-3 ≦ z ≦ 7