整数の

nは正の整数、aは実数。すべての整数mに対して

m^2-(a-1)m+(n^2/2n+1)a>0

が成り立つようなaの範囲をnを用いて表せ

という問題なんですけど、

左辺＝f(m)のとき、f(a)>0,f(a-1)>0となればよいと思ったのですが、答えが合いませんでした。答えは0<a<2n+1です。
どなたか回答お願いします。

No.10 ベストアンサー 回答者： noname#26313 回答日時： 2006/12/13 14:48

一部訂正します。

2） で、a<=0 のとき
(2m+1)^2-1+[2・(2m+1)-{1/(2n+1)}-(2n+1)]・|a|
=(2m+1)^2-1+2・(2m+1)・|a|-[{1/(2n+1)}+(2n+1)]・|a|
={(2m+1)+|a|}^2-(|a|^2+1)-[{1/(2n+1)}+(2n+1)]・|a|
となり、
m=-1 においては
{(2m+1)+|a|}^2=(|a|-1)^2-(|a|^2+1)
=-2・|a|
であるから、
{(2m+1)+|a|}^2-(|a|^2+1)-[{1/(2n+1)}+(2n+1)]・|a|<=0
となり、与えられた不等式は成立しない。

とすべきでした。

この回答へのお礼

時間ができずなかなかお返事できずごめんなさい。今日の夜にもう一度考えてみようと思います。

お礼日時：2006/12/16 13:38

No.9 回答者： noname#26313 回答日時： 2006/12/12 20:22

先を続けます。

これから、明らかなように
1）　1/(2n+1)<a<2n+1 のとき、
右辺は負、左辺は正、であるから、m がいかなる値を取ろうと
上の不等式は無条件で成立します。

2）　a<1/(2n+1) のとき、両辺とも正であり、
　0<a<1/(2n+1) のときは、両辺の大小関係は
(2m+1)^2-2・(2m+1)・a と 1-[{1/(2n+1)}+(2n+1)]・a の比較となり、
その差は、
(2m+1)^2-1-[2・(2m+1)-{1/(2n+1)}-(2n+1)]・a
>(2m+1)^2-1-[2・{(2m+1)/(2n+1)}-{1/(2n+1)}^2-1]
右辺は、
(2m+1)^2-[2・{(2m+1)/(2n+1)}-{1/(2n+1)}^2]
=[(2m+1)-{1/(2n+1)}]^2>0 であるから、結局、
与えられた不等式は成立します。
　a<0 のときは、m=0、n=0 において
(|a|+1)^2=[|a|+{1/(2n+1)}]・{|a|+(2n+1)} となり、
与えられた不等式を成立させない m があります。

3）　a>2n+1 のとき、両辺とも正であり、
　両辺の大小関係は
(2m+1)^2-2・(2m+1)・a と 1-[{1/(2n+1)}+(2n+1)]・a の比較となり、
その差は、
(2m+1)^2-1-[2・(2m+1)-{1/(2n+1)}-(2n+1)]・a
<(2m+1)^2-1-[2・{(2m+1)・(2n+1)}-(2n+1)^2-1]
右辺は、
(2m+1)^2-[2・{(2m+1)・(2n+1)}-(2n+1)^2]
=[(2m+1)-(2n+1)]^2 であり、
m=n のときは、与えられた不等式は成立しない、つまり
与えられた不等式を成立させない m があります。

よって、いかなる m に対しても与えられた不等式を満足する a は、
0<a<2n+1 であることになります。

No.8 回答者： noname#26313 回答日時： 2006/12/11 21:24

参考までに、別の観点からのトライです。

m^2-(a-1)m+{n^2/(2n+1)}・a を変形します。
m^2-(a-1)m+{n^2/(2n+1)}・a={m-(a-1)/2}^2-{(a-1)/2}^2+{n^2/(2n+1)}・a
右辺第二,第三項の和に -1 を乗じたものは、
{(a-1)/2}^2+{n^2/(2n+1)}・a={(2n+1)(a^2-2a+1)+n^2・4a}/{4・(2n+1)}
={(2n+1)・a^2-(4n^2+4n+2)・a+1}/{4・(2n+1)}
={(2n+1)・a-1}・{a-(2n+1)}/{4・(2n+1)}
であるから、
結局、不等式 m^2-(a-1)m+{n^2/(2n+1)}・a>0 は、
{m-(a-1)/2}^2>{(2n+1)・a-1}・{a-(2n+1)}/{4・(2n+1)} となります。
更に、両辺を変形して、
[{a-(2m+1)}^2]/4>{(2n+1)・a-1}・{a-(2n+1)}/{4・(2n+1)}
従って、与えられた不等式は、
{a-(2m+1)}^2>[a-{1/(2n+1)}]・{a-(2n+1)}
あるいは、
[m-{(a-1)/2}]^2>[a-{1/(2n+1)}]・{a-(2n+1)}/4 となります。
多少、見通しが良くなったと思います。

No.7 回答者： take_5 回答日時： 2006/12/09 13:22

＞判別式で考えても大丈夫でしょうか？

接点を求めるなら、その方法でも構いませんよ。
計算が面倒そうだったので、私は微分を使って接点を求めましたが。


この問題は、たまたま放物線と直線の接点のx座標がnなので、簡単にいきますが。。。。というよりそのように問題を設定したんでしょう。

No.6 回答者： take_5 回答日時： 2006/12/08 16:46

最後まで、計算してみましたら

＞つまり、+(n^2/2n+1)が、果たして、{n^2/(2n+1)}で良いのか？

これでＯＫです。

＞m＝1、0、-1の3つの値を出してみてください。

直線と放物線の接点のx座標がnになりますから、その必要はなかったです。


別解として、
m^2＋m＞a(m-k)と変形して、m-k＞0より　a＜(m^2＋m)/(m-k)とする。
そして、右辺の最小値を微分を使って求めると良いです。

この回答への補足

回答ありがとうございます。しかし、上限のほうの求め方がいまだに分かりません。無限大を考えるのでNo.3の方のように判別式で考えても大丈夫でしょうか？

補足日時：2006/12/09 02:09

No.5 回答者： take_5 回答日時： 2006/12/08 13:49

まず、問題の転記に疑問があります。

つまり、+(n^2/2n+1)aが、果たして、{n^2/(2n+1)}で良いのか？‥‥(※)

それと、“mが任意の整数”であって、“mが任意の実数”ではないことを考慮する必要があります。

方法としては、(n^2/2n+1)＝kとして、m^2＋m＞a(m-k)が任意の整数mについて成立する条件を求めることになります。
m^2＋mは点(-1、0)、(0,0)を通る下に凸の放物線です。
また、a(m-k)は点(k、0)を通る傾きがaの直線ですから、任意の整数mについて放物線が直線より常に上になるためのaの条件を求めることになります。
この直線のx軸との交点がkですから、k＝n^2/(2n+1)＞1/3ですから。。。。。。後は分ると思います。
m＝1、0、-1の3つの値を出してみてください。

No.4 回答者： noname#26313 回答日時： 2006/12/08 12:18

最後の式からは、0<a<2n+1 でなく、1/(2n+1)<a<2n+1 が出ますね。

もう少し考えます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。m:整数で考えるともう少し範囲が広がるみたいです。

お礼日時：2006/12/08 17:37

No.3 回答者： noname#26313 回答日時： 2006/12/08 12:06

与えられた不等式の (n^2/2n+1)a が、{n^2/(2n+1)}・a であるとします。

m が、m^2-(a-1)m+{n^2/(2n+1)}・a>0 を満たすなら
m^2-(a-1)m+{n^2/(2n+1)}・a=0 の m に対する判別式が負でなければなりません。
判別式 D=(a-1)^2-4・{n^2/(2n+1)}・a<0
(2n+1)・a^2-(4n^2+4n+2)・a+(2n+1)<0
{(2n+1)・a-1}{a-(2n+1)}<0
[a-{1/(2n+1)}]・{a-(2n+1)}<0
これから、0<a<2n+1 でなければならないことが分かります。

No.2 回答者： magmi-shi 回答日時： 2006/12/08 11:40

aとmと変数が2つ出てきますよね。

こういう場合は，変数を分離して考えると楽になります。
　m^2+m>a[m-n^2/(2n+1)]
となりますね。
一時的にmを実数と考えると
　左辺：(-1,0)と(0,0)を通る下に凸の放物線…(1)
　右辺：傾きa，m切片（x切片）n^2/(2n+1)の直線…(2)
となっています。実際はmが整数なので，(1)のグラフ上の格子点が(2)のグラフより上にある条件を求めればよいわけです。
計算自体はそんなに難しくないと思いますよ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。皆さんの回答を参考にして考えていますがまだすこし苦戦をしています。もう少し考えてみます。

お礼日時：2006/12/08 17:33

No.1 回答者： satoru1142 回答日時： 2006/12/07 23:30

平方完成をしてグラフの形を考え、３つの条件について＞０となるように考えればよいと思います。

この回答への補足

どのような条件ですか？mが整数という条件をどう扱ってよいのかわからなくて・・・

補足日時：2006/12/08 09:12