No.4ベストアンサー
- 回答日時:
a^0=1(単位元)…(1)
と定義する
a^(-1)=(aの逆元)…(2)
と定義する
ある整数nに対して
a^n
が定義されているとき
a^(n+1)=(a^n)a…(3)
と定義する
(a^n)^(-1)=a^(-n)…(4)
と定義する
任意の整数mに対して
n=0のとき
(a^m)a^n=(a^m)a^0
↓(1)から(a^m)a^0=a^mだから
(a^m)a^n=a^m=a^(m+0)=a^(m+n)
あるn≧0に対して
(a^m)(a^n)=a^(m+n)…(仮1)
が成り立つと仮定する
(3)から
a^(n+1)=(a^n)a
↓両辺にa^mをかけると
(a^m)a^(n+1)=(a^m)(a^n)a
↓(仮1)から
(a^m)a^(n+1)={a^(m+n)}a
↓(3)a^(m+n+1)={a^(m+n)}aから
(a^m)a^(n+1)=a^(m+n+1)
だから
∴任意の整数mとn≧0となる整数nに対して
(a^m)a^n=a^(m+n)…(5)
任意の整数mとn≦0となる整数に対して
j=m+n
k=-n
とすると
k≧0
だから(5)から
任意の整数jとk≧0となる整数kに対して
(a^j)a^k=a^(j+k)
↓j=m+n,k=-n,j+k=mだから
{a^(m+n)}a^(-n)=a^m
↓(4)a^(-n)=(a^n)^(-1)から
{a^(m+n)}(a^n)^(-1)=a^m
↓両辺にa^nをかけると
{a^(m+n)}(a^n)^(-1)a^n=(a^m)(a^n)
↓(2)(a^n)^(-1)a^n=1から
a^(m+n)=(a^m)(a^n)
∴任意の整数mとn≦0となる整数nに対して
(a^m)a^n=a^(m+n)
↓(5)とこれから
∴任意の整数m,nに対して
(a^m)a^n=a^(m+n)…(6)
任意の整数mに対して
n=0のとき
(a^m)^n=(a^m)^0
↓(1)(a^m)^0=1だから
(a^m)^n=1=a^0=a^(mn)
あるn≧0に対して
(a^m)^n=a^(mn)…(仮2)
が成り立つと仮定する
(3)から
(a^m)^(n+1)={(a^m)^n}a^m
↓(仮2)から
(a^m)^(n+1)={a^(mn)}a^m
↓(6)から{a^(mn)}a^m=a^(mn+m)だから
(a^m)^(n+1)=a^(mn+m)=a^{m(n+1)}
だから
∴任意の整数mとn≧0となる整数nに対して
(a^m)^n=a^(mn)…(7)
任意の整数mとn≦0となる整数に対して
k=-n
とすると
k≧0
だから(7)から
任意の整数mとk≧0となる整数kに対して
(a^m)^k=a^(mk)
↓k=-nだから
(a^m)^(-n)=a^(-mn)
↓(4)から(a^m)^(-n)={(a^m)^n}^(-1),a^(-mn)={a^(mn)}^(-1)だから
{(a^m)^n}^(-1)={a^(mn)}^(-1)
↓両辺に(a^m)^nをかけると
{(a^m)^n}^(-1)(a^m)^n={a^(mn)}^(-1)(a^m)^n
↓(2)から{(a^m)^n}^(-1)(a^m)^n=1だから
1={a^(mn)}^(-1)(a^m)^n
↓両辺にa^(mn)をかけると
a^(mn)=a^(mn){a^(mn)}^(-1)(a^m)^n
↓(2)からa^(mn){a^(mn)}^(-1)=1だから
a^(mn)=(a^m)^n
∴任意の整数mとn≦0となる整数に対して
(a^m)^n=a^(mn)
↓(7)とこれから
∴任意の整数m,nに対して
(a^m)^n=a^(mn)
No.5
- 回答日時:
実際に帰納法で書き下してみると、どえらい分量になるね。
No.4 の a^n の定義だが、
(3)(4)を n≧0 に制限するか
n を任意の整数にするのなら
well-defined であることの証明が必要。
(3)(4)を n≧0 に制限すると、
以下の証明で場合分けが更にもう少し増える。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- C言語・C++・C# C言語 3 2022/10/04 15:07
- 数学 Zを整数の加法群とする。 M={7,8}はZの生成形になることを示せ。(Z=〈7,8〉となることを示 3 2022/11/20 22:14
- 高校 mod 問題 2 2022/08/11 10:19
- 数学 【 数A 順列 】 問題 6個の数字0,1,2,3,4,5を使ってできる次の ような整数は何個あるか 1 2022/06/19 12:18
- 数学 m, n を整数. g.c.d(m, n) = d, l.c.m(m, n) = l とすると { 2 2022/05/22 18:54
- 雑誌・週刊誌 のり付けされている雑誌の解体方法 3 2023/03/15 21:38
- スピーカー・コンポ・ステレオ レコードの針圧調整について。 細かいことになりますが、質問させてくださいませ。 当方のレコードプレー 2 2022/08/11 20:40
- 数学 環論の素元について 6 2022/05/09 04:04
- 数学 整数問題 22 整数問題LAST 2次方程式の解 6 2023/06/08 07:25
- 数学 【 数Ⅰ 2次関数 】 問題 関数y=mx²+4x+m-3において,yの値が 常に負であるという条件 2 2022/10/01 15:08
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
正負逆転のことをなんといいま...
-
代数学の質問です[準同型写像の...
-
「AならばB」で、Aが偽でBが真...
-
論理回路
-
論理式 簡単化
-
実験における誤差範囲の許容範...
-
相対誤差が小さいと判断する基...
-
第二級陸上特殊無線の試験で
-
計算値と理論値の誤差について
-
平均値、標準偏差の有効数字に...
-
携帯でよく使われる単位「hz」...
-
【電気・蛍光灯の安定器はどこ...
-
誤差を含む数値同士を掛け算し...
-
FM波のS/N改善係数について
-
FMラジオの76.0
-
この動画は、フェイクですよね。
-
周波数偏移について
-
エチルアルコールの体膨張係数...
-
無線について dsbとssbのそれぞ...
-
占有周波数帯域幅の求め方
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
正負逆転のことをなんといいま...
-
【数学・乗法公式はどういうと...
-
NANDゲートのみの論理式
-
(^_^.) 数学がよくできる人っ...
-
XOR をNAND素子のみを用いて表...
-
論理回路
-
1bitの半加算器をNANDのみで表す時
-
数学を勉強すると、本当に論理...
-
カリーのパラドックス
-
代数学の質問です[準同型写像の...
-
中学の数学ができる方、質問で...
-
ブール代数の問題
-
論理式
-
純粋数学とはどんなものかを説...
-
論理式を加法標準形、乗法標準...
-
論理学 : unique readability t...
-
∀導入・除去の問題で、自由変数...
-
正直者とうそつきを見分ける質...
-
除法の種類
-
真理値表から最も簡単な論理式...
おすすめ情報
まず群の定義から成立していることを羅列しました。
aa^(-1)=単位元など
例えばm,n>0のときは
a^m a^n=aaaaa(m個)aaaaaaa(n個)などと書いて結合法則の成立からm+nとしました。(実際にはm個などはaaaaaaの下に書きましたがこの書き方自体あまり好きではないです)
どこが自明でどこが示すべき点なのかが分からなくなっています。