ブール代数の問題

以下の問題を解こうとしましたが、私には難しく、解答となぜそうなったのかを教えて頂けると助かります。(はじめの式の左辺のBはイタリックでした)

・B=(B,∧,∨,',0,1)をブール代数とし, a,b,c∈Bとするとき、(a∧b)∨(a∧c)∨(a'∧b'∧c')を簡単にせよ.

私の限界ですが,
(a∧b)∨(a∧c)∨(a'∧b'∧c')
= ((a∧b)∨(a∧c))∨(a'∧b'∧c')
= (a∧(b∨c))∨(a'∧b'∧c')
= (a∧(b∨c))∨(a'∧(b'∧c'))
= (a∧(b∨c))∨(a'∧(b∨c)')
= (a∧A)∨(a'∧A') (A=b∨cとおく)

ここまでです。なんかもう少しって感じがするのですが、これ以上簡単にできません。お力添え頂けるとありがたいです。よろしくお願い致します。

No.3 ベストアンサー 回答者： tmiyoshi 回答日時： 2018/07/16 17:18

普通、電気屋の人がブール代数の問題をみたら、「論理圧縮をかけて論理を簡単にしなさい」

という意味に取ります。以下のサイトで、論理式で入力で式を入力してgoボタンを押せば結果が出てきます。
http://tma.main.jp/logic/

ちなみに、
(a∧b)∨(a∧c)∨(a'∧b'∧c)だと、(ab)+(ac)+(~a~bc)で入力して、答えは、~bc + ab（(a∧b)∨(b'∧c)）になります。

この回答へのお礼

ご回答頂きありがとうございます！

なるほど、便利なサイトがありますね。簡単にしなさいは私もよくわからないんですが、おそらく出来るだけ変数や演算子の数が少ないような形にしろって意味なんだと勝手に納得しちゃってます。言葉が足らず申し訳ありません。

ご提供頂いたサイトで入力してみましたところ、~a~b~c + ac + abとなりました。問題文のままなので、これが既に簡単な形なんでしょうか。うーん、ほかの問題が0や変数１つになったのでこれだけそんなことないなーと思っているのですが、なんとも悩ましい！恥ずかしい話ですが、これで何日も悩んじゃってます(/ω＼)

URLとサイトの使い方まで教えて頂きありがとうございます！

お礼日時：2018/07/16 17:33

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2018/07/17 18:15

> (B,∧,∨,',0,1)をブール代数とし, a,b,c∈B

　わざわざ集合Bが書いてあるんですから、B={0,1}に限らず、ブール代数の公理系を満たす系ならなんでも、という（「適当な束上のFuzzy論理」などの非古典論理への拡張も視野に入れた）文脈における問題なのでしょう。
　ですが、B={0,1}はその公理系のモデルのひとつには違いないんだから、B={0,1}だと思って考えても差し支えない。そこで、B={0,1}として、∧, ∨, ' を集合演算の∩, ∪, 補集合 と読み替えればベン図が描けます。やってみると結構ケッタイな格好になり、対称性も限定的で、うーん、これを簡単にしろと言われてもなー。なので、ご質問にある答か、あるいはもうひとついじって、(a∧(b∨c)) ∨ (a∨b∨c)' とでもするか…

> 何をもって「簡単」というか (No.2さん）

がまさに問題ですよね。

> そうだね (No.4さん）

はい、そうなんです。たとえば電気回路において、どの論理演算も全部、一番簡単なNAND回路でやっちまえという場合なら、「NANDゲートの個数を最小にしろ」、「遅延を最小にしろ」、「消費電力を最小にしろ」などのハッキリした基準が立てられるんですがね。

No.4 回答者： runix2007 回答日時： 2018/07/17 00:45

そうだね

No.2 回答者： usa3usa 回答日時： 2018/07/16 15:16

何をもって「簡単」というかですが、

(a∧b∧c)は、(a∧b)にも、(a∧c)にも含まれますよね。

(a∧b∧c')∨(a∧b'∧c)∨(a∧b∧c)∨(a'∧b'∧c')
あるいは、
(a∧b)∨(a∧b'∧c)∨(a'∧b'∧c')
あるいは
(a∧b∧c')∨(a∧c)∨(a'∧b'∧c')

とすれば、２重カウントされる項がなくなるという意味で「簡単」な式になりますけど・・

この回答へのお礼

ご回答頂きありがとうございます！

そうですよね、なにをもって簡単とするかってことですよね... ほかにも問題がありまして、１つに((a'∧b'∧c')∨(a∨b∨c))'っていうのがあったのですが、これなら

((a'∧b'∧c')∨(a∨b∨c))'
= (a'∧b'∧c')'∧(a∨b∨c)'
= (a∨b∨c)∧(a∨b∨c)'
= A∧A' (A=a∨b∨cとおく)
= 0

みたいな感じですごいシンプルになったんです(間違ってないですよね？(;'∀'))。だからこれもそんな感じになるのかな？って思ってたんですが、どうなんでしょうか。私の頭ではどうもわからなくて(´・ω・`)
(a∧A)∨(a'∧A')になったときに、もう少し！って思ったんですが、それ以上進まなくてなんとも悶々とした気持ちです。

ありがとうございます！

お礼日時：2018/07/16 15:30

No.1 回答者： tmiyoshi 回答日時： 2018/07/16 09:59

∧（AND）∨(OR)'（否定）ですか？

(a∧b)∨(a∧c)∨(a'∧b'∧c')はカルノー図ではこれ以上簡単にできないように思うのですが、何か間違っていませんか？

この回答へのお礼

ご回答頂きありがとうございます！

仰る通りです∧は∩(AND)で∨は∪(OR)、'は￢(否定)です！これは命題論理や述語論理、LKでのものですが、これらを説明している教科書の中で、LK以前に使用されていた論理をとらえようとする代数計算の中心として紹介されていました。

一応問題として出されたので、さすがにこのままというわけではないと思いますが、多分私の説明のしかたが悪いんだと思います。ごめんなさい！

ありがとうございます！

お礼日時：2018/07/16 12:51