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常用対数の応用での基本問題からです。

問 「不等式(1/2)^n<0.001を満たす整数nの最小値を求めろ。但しlog[10]2=0.3010とする。」
さっぱり分らないので、常用対数の応用というのを足掛りに適当にアプローチしてみました。突っ込み願います。

与式は、2^-n<10^-3と変形出来る。
両辺の常用対数をとると、
log[10]2^-n<log[10]10^-3 より、-n・log[10]2<log[10]10^-3 だから、
-n・0.3010<-3より、n・0.3010>3。
ここで、不等式を満たす整数は1、2、3、4……と無数にあるが、求めるのは最小値であるから、n=1

投げやりでお恥ずかしい限りではありますが、何卒ご協力お願いします。

A 回答 (5件)

つっこませていただきます。



(1/2)^nで,
n=1のとき,(1/2)^1=0.5 不等式を満たしません。
n=2のとき,(1/2)^2=0.25 不等式を満たしません。
n=3のとき,(1/2)^3=0.125 不等式を満たしません。
n=4のとき,(1/2)^4=0.0625 不等式を満たしません。

nが増加すれば,(1/2)^nは減少していきますが,はじめて0.001より小さくなるnは何だろうかという問題です。

いくら投げやりでも n=1 はなかろうと思います。

n=5のとき,(1/2)^5=0.03125 不等式を満たしません。
n=6のとき,(1/2)^6=0.015625 不等式を満たしません。
n=7のとき,(1/2)^7=0.0078125 不等式を満たしません。

もう少しかな。

n=8のとき,(1/2)^8=0.00390625 不等式を満たしません。
n=9のとき,(1/2)^9=0.001953125 不等式を満たしません。
n=10のとき,(1/2)^10=0.0009765625 これですね。


つまり,最期の詰めが甘かったのです。

n・0.3010>3
n>3/0.3010
n>(3.010-0.010)/0.3010
n>10-0.010/0.3010

10より少し小さい数より,大きい整数がこの不等式を満たし,その最小値は10ですね。
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この回答へのお礼

お恥ずかしい限りです。完全に眠気に負けて、頭が働いてなかったのだと思います

御指摘ありがとうございました。

お礼日時:2012/02/21 08:30

#4 ミス


n>9.966・・ 10以上の整数
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この回答へのお礼

取り敢えず当方は、凡ミスをやらかしたということでした。

お礼日時:2012/02/21 08:37

>-n・0.3010<-3より、n・0.3010>3



ここまでは良い

>ここで、不等式を満たす整数は1、2、3、4……と無数にあるが、求めるのは最小値であるから、n=1

どうしてそうなるのか??

n・0.3010>3 ならば n>3/0.3010 不等式を満たす整数は1、2、3、4・・にはならない
n>0.9966・・ 10以上の整数
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この回答へのお礼

完璧に-3 を-0.3と履き違えてました。

お恥ずかしい限りです。

お礼日時:2012/02/21 08:35

>問 「不等式(1/2)^n<0.001を満たす整数nの最小値を求めろ。

但しlog[10]2=0.3010とする。」

与式は、2^-n<10^-3と変形出来る。
両辺の常用対数をとると、
log[10]2^-n<log[10]10^-3 より、-n・log[10]2<log[10]10^-3 だから、
>-n・0.3010<-3より、n・0.3010>3。
ここまで合っています。

n>3/0.3010=9.966…… なので、9.966…… を越える最小の整数はn=10
整数nの最小値は10です。
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この回答へのお礼

赤っ恥です。考え方が大旨合ってたのが唯一の救いです。
ありがとうございました

お礼日時:2012/02/21 08:32

n・0.3010>3より



n>3/0.3010=9.97..

これを満たす最小のnは10
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この回答へのお礼

そうでした…お恥ずかしい限りです。

ご回答ありがとうございました

お礼日時:2012/02/21 08:33

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