数学の質問です (2)で、答えがk≦-1なんですけど、解を持たないなら判別式DはD<0じゃないんです

数学の質問です

(2)で、答えがk≦-1なんですけど、解を持たないなら判別式DはD<0じゃないんですか？？
重解をもつD=0もいれたら解がうまれてしまうことはないのでしょうか……？

No.7 回答者： finalbento 回答日時： 2021/08/10 20:29

恐らくですが「判別式Dが負なら実数解を持たない」と言うのをお経のように覚え込んだだけなのでは? 判別式が負なら実数解云々は「二次方程式の解」の話であって、この問題は二次不等式なのでそのままでは成り立ちません。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/10 11:02

k = -1 のとき、(2) の不等式は -x²+2x-1>0 ですね。

整理して、(x-1)²<0. このとき、
不等号をイコールで置き換えた (x-1)²=0 は解を持つけれど、
(x-1)²<0 には解はうまれないでしょう？
もとの不等式の不等号が ≧ じゃなく > であること
が効いてますね。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/10 10:19

判別式D

は
方程式kx^2+(k+3)x+k=0が解を持つかどうかの判別式であって

不等式kx^2+(k+3)x+k>0が解を持つかの判別式ではありません

方程式kx^2+(k+3)x+k=0が解を持たないなら判別式DはD<0
だけれども

D=0の時
方程式kx^2+(k+3)x+k=0が重解を持つけれども
その重解は
不等式kx^2+(k+3)x+k>0の解ではありません

問題は
不等式
kx^2+(k+3)x+k>0が解を持たない

場合のkの値の範囲を求めよです

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2021/08/10 10:07

kx²+(k+3)x+k>0 が解を持たないと云う事は、

kx²+(k+3)x+k<0 か kx²+(k+3)x+k=0 と云う事です。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2021/08/10 09:56

「与不等式（>0）が解をもたない」ということは

「与不等式（>0）を満たす x は存在しない」ということであって
「不等式（≦0）を満たす x 」は存在していいんですよ。

つまり
　y = kx^2 + (k + 3)x + k = k[x + (k + 3)/(2k)]^2 - (k + 3)^2 /(4k) + k
　= k[x + (k + 3)/(2k)]^2 + (3k^2 - 6k - 9)/(4k)
　= k[x + (k + 3)/(2k)]^2 + 3(k^2 - 2k - 2)/(4k)
が k<0 では「上に凸」の放物線になるので、頂点の y 座標が　
　3(k^2 - 2k - 3)/(4k) ≦ 0　　　①
であれば
　y > 0
を満たす x はないことになる。

頂点が x 軸上にあっても、y>0 となる x はありませんから。

①は k<0 より
　k^2 - 2k - 3 ≧ 0
→　(k - 3)(k + 1) ≧ 0
k - 3 < 0 なので
　k + 1 ≦ 0
よって
　k ≦ -1

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/08/10 07:07

解が無いってことは

左辺≦0
ってことだよね？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/08/10 02:15

実際に D=0 のときに「解がうまれてしまう」かどうか確認すればいいじゃないか.