整数問題 21 2次方程式の解

本題

２次方程式の定石
判別式、解と係数の関係

色々と手段がありすぎでかえって、困惑しています

識者の方のアプローチも教えてください。

以下問題

___________________________________

質問者からの補足コメント

• 

  本題
  
  早稲田大学過去問
  
  大昔から知られている難問だとか、、、
  
  実直に、与えられた関数を f(x) とし、f(1) の符号で m,n の範囲を絞ればできる
  
  しかし、それも難儀な点がある
  
  今回は、2次関数と直接の交点に着眼点をおいた
  
  切片αβ　を、順に見ていき、m,n を求めた、自分でも積の形であるαβ に目をつけたのは褒めてあげたい
  この着眼点で悩みなく進んだが、最後に毎回ながら『他にないことを証明するのが』難儀であった
  
  今回も多くの人に回答を頂き感謝いたします
  
  以下、画像が小さいので、こちらを参照してください
  
  https://imgur.com/a/Rm43IBs
  
  私の答案
  
  _______________________________________________

  
    補足日時：2023/06/07 13:06

• 

  ご回答ありがとうございます
  
  ご返信が遅くなりまして申し訳ございません。
  
  以下答案です
  
  https://imgur.com/a/Rm43IBs
  
  補足コメントもしました

  
  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/06/07 13:11

• 

  お久しぶりです。
  
  回答ありがとうございました。
  
  読ませていただきました
  
  模範解答だと思います
  
  ただ、問題集の別解が全く同じ解き方でしたので
  
  嫌いな、安田亨の答案を超えるための、わたしの答案です
  
  
  
  以下答案です
  
  画面が小さいので、こちらをご覧ください
  
  https://imgur.com/a/Rm43IBs
  
  補足コメントもしました

  
  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/06/07 13:33

• 

  教授
  
  おはようございます。
  
  ご指摘本当にありがとうございました
  
  自分でも、不安の証明だったので助かります
  
  以下、改め答案
  
  _____________________________________

  
  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/06/08 05:57

• 

  一部答案に謝り
  
  申し訳ございません
  
  以下答案
  
  ________________________________________

  
    補足日時：2023/06/08 06:11

• 

  教授おはようございます。
  
  大切な補足
  
  解に, 1 を含む場合を書き込んでいませんでした
  x=1,β
  (m,n)=(1,β)　、m+n=1+β ,mn=β
  
  この場合も整数解を持ちません
  
  以上追記でした
  
  from minamino
  
  こ

    補足日時：2023/06/09 05:52

• 

  おはようございます
  
  今まで、整数問題21 題にお付き合いいただきありがとうございます
  
  多くにご意見を頂き感謝いたします。
  
  これからテーマを移して、場合の数、確率に進んでいこうと思っています
  
  何卒宜しくお願い致します。
  
  本当にありがとうございました
  
  from minamino

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/06/09 06:16

No.7 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/07 16:59

補足：2023/06/07 13:33について

(参1)一般に2次方程式の2解の和と積においてその差aのとき
x^2-px+p+a=0
a=3
p=7
とすると
D
=p^2-4(p+a)
=7^2-4(7+3)
=49-40
=9
=3^2
a≧2においてDが平方数となる事もある

この回答へのお礼

答案一部訂正しました
補足日時：2023/06/08 06:11
何卒宜しくお願い致します。

お礼日時：2023/06/08 06:13

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/05 22:11

x^2-mnx+m+n=0

の2つの解をa,bとすると

x^2-mnx+m+n=(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab
だから
mn=a+b…(1)
m+n=ab…(2)
↓(1)から(2)を引くと
mn-m-n=a+b-ab
(m-1)(n-1)-1=1-(a-1)(b-1)
↓両辺に1を加えると
(m-1)(n-1)=2-(a-1)(b-1)…(3)
↓m,nは自然数だから
0≦(m-1)(n-1)=2-(a-1)(b-1)
(a-1)(b-1)≦2

↓(1)1≦mn=a+b,(2)2≦m+n=abからa>0,b>0だから

0≦(a-1)(b-1)≦2

(a-1)(b-1)=0のとき
(3)から
(m-1)(n-1)=2
(m-1,n-1)=(1,2).or.(2,1)
(m,n)=(2,3).or.(3,2)
a+b=mn=6,ab=m+n=5
a=1.or.b=1
a=1のとき1+b=6,b=5
b=1のときa+1=6,a=5
x^2-6x+5=(x-1)(x-5)=0

(a-1)(b-1)=1のとき
a=b=2
(3)から
(m-1)(n-1)=1
m=n=2
x^2-4x+4=(x-2)^2=0

(a-1)(b-1)=2のとき
(a-1,b-1)=(1,2).or.(2,1)
(a,b)=(2,3).or.(3,2)
(3)から
(m-1)(n-1)=0
m=1.or.n=1
m+n=ab=6,mn=a+b=5
m=1のとき1+n=6,n=5
n=1のときm+1=6,m=5
(m,n)=(1,5).or.(5,1)
x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0

∴
x^2-6x+5=(x-1)(x-5)=0
x^2-4x+4=(x-2)^2=0
x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます

ご返信が遅くなりまして申し訳ございません。

以下答案です

https://imgur.com/a/Rm43IBs

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お礼日時：2023/06/07 13:08

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/05 20:37

「自然数」は「正の整数」の意味でいいかな?

a, b を 2つの解とすると 0 ≦ (a-1)(b-1) ≦ 2 で a=1 と a>1 にわけて考える.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます

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お礼日時：2023/06/07 13:10

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/06/05 15:06

文字がmとnの2個有るので、難易度が相当高いです。

常道通り、2解をα、βと置くと、解と係数の関係より、
α+β=mn、α+β=m+n [和が積、積が和だから厄介だと解ります]
(m,nも整数だと解ります）

このmを消去すると
(α- 1/n)(β- 1/n)=(n³+1)/n²
ここから先が厄介・・・・。

αとβを入れ替えても同じだから、以下入替は最後で

○積が(n³+1)/n²だから、1と(n³+1)/n²。
つまり(α- 1/n)=1、と、(β- 1/n)=(n³+1)/n²。
(α- 1/n)=1よりα=1+1/nで整数だから、n=1　α＝２　β=3

○積が(n³+1)/n²だから、(n³+1)/nと(n³+1)/n。
α- 1/n=(n³+1)/nよりα=(n³+1)/n＋1/n＝(n³+2)/n
αは整数だから、n=1　α＝３　β=3

○積が(n³+1)/n²だから、(n³+1)と1/n²
α- 1/n=(n³+1)よりα=(n³+1)＋1/n
αは整数だから、n=1　α＝３　β=3

α- 1/n=1/nの場合は、n=1 α＝２β=3

(α,β)=(2,3) , (3,2) , (3,3)の3個。

自信は有りません。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます

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お礼日時：2023/06/07 13:09

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/05 13:26

いや、しまった。

(m-4)(n-4) = k²+16 じゃあない。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/05 13:25

2次方程式を解いて、x = { mn ±√（m²n²-4(m+n)) }/2.

この x が、整数以前に有理数であるために、少なくとも
√（m²n²-4(m+n)) が整数でなければならない。
m²n² - 4(m+n) = k² と置く。　←[1]
m,n が整数なので、k は有理数であれば整数である。
[1] が成立するとき、
mn の偶奇と k の偶奇は一致するから x は整数となる。

不定方程式 [1] が解けるだろうか？
変形して (m-4)(n-4) = k²+16.
これ以上はどうしようもない気がするが...

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます

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お礼日時：2023/06/07 13:10

No.1 回答者： AっKI 回答日時： 2023/06/05 11:06

判別式→約数・倍数の関係

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
申し訳ございませんが、具体的な内容でお願いします

お礼日時：2023/06/05 11:23