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円の方程式について教えてください。

3点1+2i、3−i、−1−2iを通る方程式というのは、
(zzバー)−(aバーz)−(azバー)+c=0
にあてはめていけばいいのでしょうか?

申し訳ないのですが、計算過程を教えていただければと思います。

よろしくお願いいたします。

A 回答 (5件)

その方法でよい


円の中心はa
円の半径r

r=√(|a|^2-c)
「円の方程式について教えてください。 3点」の回答画像4
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> あてはめていけばいいのでしょうか?



合ってます。自信がないのは、多分、全体が見通せていないからでしょう。

[1] xの共役複素数をx*と書くことにすると、正の実数Cについて
  |z - a|² = C
が円の方程式。
  |z - a|² = (z - a)(z - a)* = (z - a)(z* - a*)
      = zz* - az* - a*z = |z|² - (az* + a*z)
だから、この方程式は
  |z|² - (az* + a*z) = C
とも表せる。さらに、xの実部をRe(x)と書くことにすると、
  (az* + a*z) = 2Re(az*) = 2Re(a*z)
なので結局、円の方程式は
  2Re(a*z) + C = |z|²
とも書ける。

[2] 3つ与えられている点をz[1], z[2], z[3]として、実数P[n], Q[n], A, Bを
  z[n] = P[n] + i Q[n] (n=1,2,3)
  a = A + i B
とすれば
  Re(a*z[n]) = P[n]A + Q[n]B
だから、[1]の方程式は
  2P[n]A + 2Q[n]B + C = P[n]² + Q[n]² (n=1,2,3)
であり、これは実数の未知数A, B, Cに関する実数係数の連立一次方程式。
 で、これを解けという話。もちろん、行列を使って解いてもいいし、ツルカメ算でもいい。

…という、問題の全体を理解した上で、さて、具体的にP[n], Q[n]に値を入れて計算してみれば良いですね。
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そのやり方でよいです。


z(zバー)- bz - a(zバー) + c = 0 に 3個の z を代入して
3元3連立一次方程式として普通に解くと、
自動的に b = (aバー) で c は実数であるような解が得られますから、←[*]
特別な工夫は必要ありません。

[*]が成り立つことは、z を文字にしたまま
この式から bバー と cバー を計算してみれば、確認できます。
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>p、q、rの3元連立方程式 3本になります。


p、q、cで解いた方が楽でしょうね。
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中心をz0、半径をrとすると


|z-(p+qi)|=r →{z-z0}{conj(z)-conj(z0)}=r^2
→|z|^2+|z0|^2-z・conj(z0)-conj(z)z0=r^2

なので、|z0|^2-r^2=c, a=z0
なら方程式は合ってます。
つまりaは複素数で未知数は2個
a=p+qi
cは実数で未知数は一個
として3点を代入すれば
p、q、rの3元連立方程式 3本になります。
それを解けばおしまい。
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