数学 ２次関数と１次関数のグラフ ３角形の面積より

お世話になります。
とある高校の入試問題です。

問（４）　Ｙ＝ａＸ²上に点Ａとは異なる点Ｐを、△ＯＡＢと△ＯＰＢの面積が等しくなるようにとる。このとき、点Ｐの座標を求めなさい。

答えは（－１、２）とわかっています。解き方が分かりません。

与問についてわかっていることは、以下の通りです。
①ａ＝２であること（Ｙ＝２Ｘ²）
②点ＢのＸ座標は－２であること。点Ｂは（－２、４）
③直線ＡＢの式がＹ＝３Ｘ＋２であること。
④△ＯＡＢの面積が４であること。

直線ＰＢとＸ軸の交わる点をＱとすると、求まりそうかなと思ったのですが、甘かったでしょうか。

ご教示の程よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/12/09 01:03

△OAB と△OPB の共通部分は、辺OBです。

この2つの三角形の面積が等しいということは、辺OBを共通の底辺として、
・△OABの高さ = OB を通る直線と Ａ との距離
・△OPBの高さ = OB を通る直線と Ｐ との距離
ですから、P は
・OB を通る直線と平行な A を通る直線が、A 以外で y=2x^2 と交わる点
ということになります。

OB の式：y=2x
従って、「OB を通る直線と平行な A を通る直線」は
　y = 2x + k　　　①
これが A (2, 8) を通るので
　8 = 4 + k
→　k = 4
従って、①は
　y = 2x + 4　　　②

これと y=2x^2 の交点は、②との連立方程式を解いて
　2x^2 = 2x + 4
→　x^2 - x - 2 = 0
→　(x ₋ 2)(x + 1) = 0
より
　x = -1, 2
x=2 が A なので、Ａ以外の交点は
　x = -1
このとき
　y = 2(-1)^2 = 2
従って、P の座標は
　(-1, 2)

この回答へのお礼

ありがとうございました。目からうろことはこのことでした。大変参考になりました。

お礼日時：2021/12/09 01:19