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お世話になります。
とある高校の入試問題です。

問(4) Y=aX²上に点Aとは異なる点Pを、△OABと△OPBの面積が等しくなるようにとる。このとき、点Pの座標を求めなさい。

答えは(-1、2)とわかっています。解き方が分かりません。

与問についてわかっていることは、以下の通りです。
①a=2であること(Y=2X²)
②点BのX座標は-2であること。点Bは(-2、4)
③直線ABの式がY=3X+2であること。
④△OABの面積が4であること。

直線PBとX軸の交わる点をQとすると、求まりそうかなと思ったのですが、甘かったでしょうか。

ご教示の程よろしくお願いします。

「数学 2次関数と1次関数のグラフ 3角形」の質問画像

A 回答 (1件)

△OAB と△OPB の共通部分は、辺OBです。


この2つの三角形の面積が等しいということは、辺OBを共通の底辺として、
・△OABの高さ = OB を通る直線と A との距離
・△OPBの高さ = OB を通る直線と P との距離
ですから、P は
・OB を通る直線と平行な A を通る直線が、A 以外で y=2x^2 と交わる点
ということになります。

OB の式:y=2x
従って、「OB を通る直線と平行な A を通る直線」は
 y = 2x + k   ①
これが A (2, 8) を通るので
 8 = 4 + k
→ k = 4
従って、①は
 y = 2x + 4   ②

これと y=2x^2 の交点は、②との連立方程式を解いて
 2x^2 = 2x + 4
→ x^2 - x - 2 = 0
→ (x ₋ 2)(x + 1) = 0
より
 x = -1, 2
x=2 が A なので、A以外の交点は
 x = -1
このとき
 y = 2(-1)^2 = 2
従って、P の座標は
 (-1, 2)
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この回答へのお礼

ありがとうございました。目からうろことはこのことでした。大変参考になりました。

お礼日時:2021/12/09 01:19

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