3x－7y＝1の全ての整数解を求めたいです。 整数解の1つとしてx＝5,y＝2を使うのが1番良い方法

3x－7y＝1の全ての整数解を求めたいです。

整数解の1つとしてx＝5,y＝2を使うのが1番良い方法だと思いますが、今回は x＝－2,y＝－1 で解きたいのでこれを使った計算過程を教えてください。

何度計算しても上手くいかないため、もしかしてこれでは答えを出せないのかな…？とも思っています。

ちなみに答えは
x＝7n＋5
y＝3n＋2　（ｎは整数）
です。

No.5 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2022/03/03 15:11

x, y が整数のとき 3x-7y=1 を 不定方程式 といいます。

「不定」ですから、文字通り 答えの書き方は 1つには決まりません。
n, m を任意の整数とすると、
x=5, y=2 から 計算を始めると x=7n+5, y=3n+2 ですね。
x=-2, y=-1 から始めると x=7m-2, y=3m-1 となりましたね。
ここで m=n+1 としてみて下さい。
x=7m-2 → x=7(n+1)-2=7n+7-2=7n+5 、
y=3m-1 → y=3(n+1)-1=3n+3-1=3n+2 で 上と一緒になります。

＞何度計算しても上手くいかないため、・・・

出てきた答えを 問題の式に 代入してみて下さい。
それが 成り立てば 正しい答え と云う事になります。
3(7m-2)-7(3m-1)=21m-6-21m+7=1 。

この回答へのお礼

なるほど…
となると、x=7m-2, y=3m-1を答案用紙に書いても丸を貰えるということで大丈夫ですか？
また、なぜm=n+1とするのか教えて頂けると幸いですm(_ _)m

お礼日時：2022/03/03 16:05

No.7 回答者： cruelman 回答日時： 2022/03/03 18:49

あなたは無造作に　(nは整数)　と書いていますがもう少し精密に書くとすれば　nは任意の整数　なんです。

nが任意ということはnが1だろうと那由多だろうと無量大数だろうと成り立つことなのです。この時、nの代わりにn+1やn-1もnなんです。

この回答へのお礼

いやいや、問題集の解答通りに書いてありますのでそのようなことを私に言われましても…(^_^;)(^_^;)

お礼日時：2022/03/03 21:36

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2022/03/03 16:15

＞なぜm=n+1とするのか教えて頂けると幸いですm(_ _)m

両方の答えは 書き方が違っても 同じ答えであることを
示すために m=n+1 と書いただけです。

先ほども書いたように 出した答えで 問題の式が
成り立つならば 〇 を貰える筈です。

この回答へのお礼

なるほど…！
ありがとうございました！

お礼日時：2022/03/03 21:38

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/03 13:08

>y = (3/7)(x+2)-2

おっと訂正
y = (3/7)(x+2)-1

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/03 09:00

(5, 2) でも (-2, -1) でもよいけど

3x－7y＝1　は

y = (3/7)(x-5) +2
や
y = (3/7)(x+2)-2

と書きなおせば、
x-5 または x+2 が７の倍数の時が答えなのは明らか。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2022/03/03 21:38

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2022/03/03 02:36

3x - 7y = 0

なら、簡単に一般解（全ての解）がわかるでしょう。その解は x = pm, y= qm という形になります。(mは整数）
　さて、
　　3x - 7y = 1
の解を一つ見つけたとして、それをx = a, y = bとしましょう。すると、
　　x = a + pm, y = b + qm
が一般解、ってことです。
　　3(a + pm) - 7(b + qm)
　　= (3a - 7b) + (3pm - 7qm)
　　= 1 + 0
と考えればわかりやすいかと思います。

　あるいはもしかして、こうして得られた正しい解
　　x = -2 + 7m,
　　y = -1 + 3m
が「答え」と合わないことでお悩みで？　だとすると、そりゃ
　　m = n + 1
で解決です。

この回答へのお礼

なるほど！ありがとうございます！

お礼日時：2022/03/03 21:38

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/03/03 02:33

x=-2, y=-1 を「使う」なら, 素直に

x=7n-2, y=3n-1 (n は整数)
でいいじゃん.

一体なにをどう「計算」して, どう「上手くいかない」んだろうか.

この回答へのお礼

私もその結果になるのですが、答えと一致しないので上手くいっていないと思いました。それが答えで良いのでしょうか、答案に書いてバツを貰わないか心配です。

お礼日時：2022/03/03 14:22