数Ⅱです。 関数f(x)=x^4-8x^3+18kx^2が極大値を持たない時、定数kの値を求めよ 解

数Ⅱです。

関数f(x)=x^4-8x^3+18kx^2が極大値を持たない時、定数kの値を求めよ

解説では、
　

極大値を持たない条件は正から負に変わらないことである。
f'(x)のx^3の係数は正であるから３次方程式f'(x)=0が異なる３つの実数解を持たないことと同じである。
f'(x)=0とすると 4x(x^2-6x+9k)=0
より、
x=0 または x^2-6x+9k=0
よって、求める条件は x^2-6x+9k=0が
1)重解なたは虚数解をもつとき
2)x=0を解にもつとき
、、、、省略




と書かれています。

なぜ、2)のとき、異なる３つの実数解を持たないのかわかりません。よろしくおねがいします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/07/01 20:03

x²-6x+9k=0がｘ=0 を解に持つとき、

0-6・0+9k=0
9k=0
k=0

これより、
f'(x)=4x(x²-6x)=4x²(x-6)=0
x=0 , 6
ｘ＝０が重解になるので、2)のとき、異なる３つの実数解をもちません。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2021/07/01 22:31

f(x) がx の4次式であるとき y=f(x) のグラフは どんな形か 分かりますか。

x⁴ の係数が +1 で、極大値を持たないとは どんな形のグラフになりますか。
これを イメージすれば、増加から減少に変化しない場合
と云う事が分かる筈ですが。
つまり x=0 が成り立つ時は、x=0 が 重解になります。