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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
複素平面上に、Im z = 0, Im z = 1, |z| = r の線を描いて、
これらが交差して作る長方形っぽい図形の周 C を廻る
閉路積分 ∮[C]e^{-x^2}dx を考えてみてください。
e^{-x^2} は正則関数なので ∮[C]e^{-x^2}dx = 0 ですが、
r→+∞ のとき、下の辺上での積分が →∫[-∞,∞]e^{-x^2}dx、
下の辺上での積分が(向きが逆なので) →-∫[-∞,∞]e^{-(x-i)^2}dx、
円弧上での積分が →0 となるので、
結局、0 = ∫[-∞,∞]e^{-x^2}dx + 0 - ∫[-∞,∞]e^{-(x-i)^2}dx + 0
になります。
∫[-∞,∞]e^{-x^2}dx = √π になる話は有名で
どこにでも書いてあるので、上の式と併せると
∫[-∞,∞]e^{-(x-i)^2}dx = √π が判ります。
いやー、留数定理ってホントにいいものですね。サイナラ、サイナラ...
この回答へのお礼
お礼日時:2022/08/10 16:50
経路は Imz=0, Imz=-1, |z|=1 ですね。間に円弧を挟むと面倒な計算はいらないのですね。
結局、この場合は実軸上の積分値と Imz=-1上の積分値が同じになるということですね。
大変ありがとうございました。
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