『iの微分』

虚数iの微分、di/dx（dyでもdtでもよいのですが）の値はどうなるのでしょうか？iを定数として０ということでよいのでしょうか？
なぜ、こんなことに引っ掛かっているかというと、定数とはつまり大きさが一定の数と言えると思います。しかし、虚数iは＞０でも＜０でもない。２iとiの大小を比べることもできない、いわば、大きさという性質を持たない（大きさが０ということではない）数でしょう？とすると、定数の如くに扱うことはできないのではないかという疑問が出てくるのです。もちろん、変数でもないし。
それでもやはりdi/dx＝０ということになるのでしょうか？

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/07 21:33

すべてのxに対して

f(x)=i
と関数f(x)を定義します
f(x)の微分の定義は

f'(x)=lim_{h→0}{f(x+h)-f(x)}/h

↓f(x+h)=f(x)=iだから

di/dx=f'(x)=lim_{h→0}{i-i}/h=0

となるのです

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/07 21:22

＞ 「値」と「大きさ」の違いをどう定義なさっているのかも。

｜i｜ = 1 = ｜(1+i)/√2｜.
i と (1+i)/√2 は異なる複素数ですが、その大きさは同じです。
複素数の「大きさ」については、教科書等で
複素数とは何かを導入した箇所を見れば書いてあると思いますよ。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/02/06 21:56

定数とは値が定まっているということで、大小はどうでも良いです。

微分も引き算と割り算が出来ればいい。
大小が解らなくも引き算も割り算もできます。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/06 20:23

複素数

z=a+bi ,(a,bは実数)
の大きさは
|z|=√(a^2+b^2)
と定めるのです
だから
虚数
i
の大きさ
|i|=1
となり
iと1は同じ大きさになります

複素数a+biはベクトル(a,b)を表します
複素数iはベクトル(0,1)を表します
複素数1はベクトル(1,0)を表します

i=(0,1)と1=(1,0)は大きさが同じだけれども向きが違うのです

だから

di/dx=d(0,1)/dx=(d0/dx,d1/dx)=(0,0)=0

となります

この回答へのお礼

コメント、ありがとうございます。貴方が仰っているのは、結局、i=1・iとして、di/dx=d(1・i)/dx=id1/dx=i・０=0ということでしょう。これは虚数iを１の係数として扱うということ、例えば、２xの微分をd(２・x)/dx=２dx/dx=２・１=２と計算するのと同様だと思われる。
しかし、虚数iからすると１こそ係数であり、ｄ1・i/dx=1di/dxと計算するとしてもいいではないかとも考えられる。
どちらを採用するのが数学的に正当なのか。それとも、虚数iの微分については、iを係数とし１について微分すると約束しているのかもしれませんね。（その方が都合がいいし、何かと便利で辻褄も合うだろうし）
それから,|i|≠iであるから、d|i|/dxとdi/dxとできるかというと、う～んとなる。まあ、これも、虚数iの微分についてはそのように計算するのだと決めたのかもしれませんが。

お礼日時：2023/02/07 20:16

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/06 19:59

＞ 定数とはつまり大きさが一定の数

その言い方は、あなたが気づいたとおり
複素定数にはあてはまりません。
「定数とはつまり値が一定の数」と訂正しましょう。

この回答へのお礼

御意見、ありがとうございます。虚数iの微分の値がどうなるのかは分からないままですが…。「値」と「大きさ」の違いをどう定義なさっているのかも。

お礼日時：2023/02/07 19:55

No.2 回答者： puyo3155 回答日時： 2023/02/06 19:54

https://eman-physics.net/math/imaginary02.html

勉強してね。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/06 19:48

そうです。