広義積分の値

∫[0→1]dx/√(x(1-x))

この式の解き方を教えていただけますか

答えはπになるそうです

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/07/19 08:01

定義域は0<x<1

I=∫[0→1]dx/√(x(1-x))

x(1-x)=-(x-(1/2))^2+(1/4), x-(1/2)=tとおくと
dx/√(x(1-x))=dt/√{(1/4)-t^2} より

I=∫[-1/2→1/2] dt/√{(1/4)-t^2}
t=u/2とおくと
dt/√{(1/4)-t^2}=du/√(1-u^2) より

I=∫[-1→1] du/√(1-u^2)
=2∫[0→1] du/√(1-u^2)
u=sin(v)(0<v<π/2)とおくと
I=2∫[0→π/2] dv=π

この回答へのお礼

ありがとうございました！
とても参考になりました

お礼日時：2012/07/20 16:52

No.1 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/07/19 01:16

ルート内を平方完成し、2上になっている部分を別の変数にした置換積分をする。

積分をするとarcsinになる。