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定数/0は∞ですか??

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A 回答 (3件)

基本的に#1の回答者様のおっしゃる通りです。



まず
定数/0 は「存在しません」。
0で割る計算は「考えてはいけない」(定義できない)という決まりです。

しかし「定数/X、X→0 の極限」は考えることができます。

分子の定数をAとします。場合分けが必要です。

● Aが正の数の時
A/X の符号は、Xが正の数ならA/Xも正
Xが負の数ならA/Xは 正/負 となり負
ということはわかりますね。

そして、X(の絶対値)が小さくなればなるほどA/Xの絶対値は大きくなります。
つまり、正の無限大に近付くこともあれば、負の無限大に近付くこともあります。

Xが0より大きい方から0に近付くことを、あえて表したいときは、高校数学の範囲でも
  X→0+0
と書きます。これを
  右の極限
と呼びます。
+ですけど、極限自体はだんだん数字が小さくなっていくことに気を付けてください。
0.1、0.01、0.001、0.0001、・・・0+0

正/正 ですから、
  lim(X→0+0)_A/X =+∞ (A>0)
です。

その逆が
  左の極限
です。
  X→0-0
と書きます。

正/負 ですから、
  lim(X→0-0)_A/X =-∞ (A>0)
です。

この場合
  lim(X→0+0)_A/X と lim(X→0-0)_A/X が 一致しません。


● Aが負の数の時
A/X の符号は、Aが正の数の時と逆になります。
Xが正の数ならA/Xは 負/正 となり負
Xが負の数ならA/Xは 負/負 となり正
ということはわかりますね。

  右の極限

  lim(X→0+0)_A/X =-∞ (A<0)
です。

  左の極限

  lim(X→0-0)_A/X =+∞ (A<0)
です。

この場合も
  lim(X→0+0)_A/X と lim(X→0-0)_A/X が 一致しません。


● Aが0の時
0/X はXの正負に関わらずコンスタントに(常に)0ですが、
0/0 は定義できませんから(0/0=0とも0/0=1とも言われる。)
  lim(X→0+0)_0/X や lim(X→0-0)_0/X を考えることにそもそも意味があるのか
私にはわかりません。これについては、どなたか詳しい方、ご説明をお願いします。
少なくとも高校数学の範囲では、
Aが0の時 を考えなければならない問題は出ないと思うので安心してください。


● そもそも極限と極限値について
ある関数f(X)
  lim(X→k+0)_f(X)=C1
という値C1が存在し、
  lim(X→k-0)_f(X)=C2
という値C2も存在し、
  C1 と C2 が 一致する
とき、
  f(X)は X=k で極限値C1 を持つ
と言います。(極限「値」です。C1=C2)

また、このとき右の極限と左の極限をまとめて
  lim(X→k)_f(X)=C1
という一つの式で表します。


● 結論
定数/0は ∞、-∞、定義できない、の3通りが考えられる
が答えだと思います。
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#2です。

補足します。


ある関数f(X)
  lim(X→k+0)_f(X)=C1
という値C1が存在し、
  lim(X→k-0)_f(X)=C2
という値C2も存在し、
  C1 と C2 が 一致する
とき、
  f(X)は X=k で極限値C1 を持つ
と言います。(極限「値」です。C1=C2)

また、このとき右の極限と左の極限をまとめて
  lim(X→k)_f(X)=C1
という一つの式で表します。


については難しいことを言っているように感じるかも知れませんが、
教科書のどこか(極限の説明の一番最初の方)に「極限値の定義」として書いてあったと思います。

私は教育家ですが数学の専門家ではないので「極限値の定義」が別に存在したらごめんなさい。

例えば tanθ などもθ=π/2 で+∞と-∞の両方に近づきますよね(漸近線)。
このように(例:f(X)=tanX)X→k (例ではk=π/2)のとき、

 「極限が一つに定まらない」
 「そもそもC1のような定数にならず、+∞などになる」

というときには、
  lim(X→k)_f(X)=C1 なんて定めることは不可能
ということを言っているのです。


ごくまれに、この右からの極限、左からの極限を問う問題もありますので、後は問題を解きながら学校の先生に聞いてみてください。
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この回答へのお礼

丁寧でわかりやすかったです!!
回答ありがとうございました(^^)

お礼日時:2014/05/17 13:57

このような粗雑な議論をすべきではありません。



lim(x→0)[1/x^2]=∞

は成り立ちます。

lim(x→0)[1/x]

については

xを0.1,0.01,0.001,...のように+側から0に近づける場合は∞ですが

xを-0.1,-0.01,-0.001,...のように-側から0に近づける場合は-∞です。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!

お礼日時:2014/05/17 13:55

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