(ⅰ)点(a,b)で全微分可能ならば(a,b)で連続である。 (ⅱ)全微分可能な関数の和と積は全微分

(ⅰ)点(a,b)で全微分可能ならば(a,b)で連続である。
(ⅱ)全微分可能な関数の和と積は全微分可能である。
この2つの示し方を解説して頂けると幸いです。片方でも構いません。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/22 13:06

(i)

関数 f(x,y) が (x,y)=(a,b) において全微分可能とは、
f(x,y) = f(a,b) + A(x - a) + B(y - b) + R(x,y),
lim[(x,y)→(a,b)] R(x,y)/√((x-a)^2+(y-b)^2) = 0
となる定数 A, B と関数 R(x,y) が存在することをいう。
(このとき A = ∂f/∂x, B = ∂f/∂y となるが、
それはまた別の話である。)

よって、
lim[(x,y)→(a,b)] f(x,y) = f(a,b)
　　　　　　　　　　+ A lim[(x,y)→(a,b)] (x - a)
　　　　　　　　　　+ B lim[(x,y)→(a,b)] (y - b)
　　　　　　　　　　+ lim[(x,y)→(a,b)] { R(x,y)/√((x-a)^2+(y-b)^2) }√((x-a)^2+(y-b)^2)
　　　　　　　　　　= f(a,b) + 0 + 0 + 0・0

(ii)
関数 f(x,y) と g(x,y) が (x,y)=(a,b) において全微分可能であるとする。
f(x,y) = f(a,b) + A(x - a) + B(y - b) + R(x,y),
lim[(x,y)→(a,b)] R(x,y)/√((x-a)^2+(y-b)^2) = 0,
g(x,y) = g(a,b) + C(x - a) + D(y - b) + S(x,y),
lim[(x,y)→(a,b)] S(x,y)/√((x-a)^2+(y-b)^2) = 0
と書ける。これを使って、

f(x,y)+g(x,y) = (f(a,b)+g(a,b)) + (A+C)(x - a) + (B+D)(y - b) + (R(x,y)+S(x,y)),
lim[(x,y)→(a,b)] (R(x,y)+S(x,y))/√((x-a)^2+(y-b)^2)
　= lim[(x,y)→(a,b)] R(x,y)/√((x-a)^2+(y-b)^2) + lim[(x,y)→(a,b)] S(x,y)/√((x-a)^2+(y-b)^2)
　= 0 + 0.
この式は、f(x,y)+g(x,y) が全微分可能であることを表している。

f(x,y)g(x,y) = { f(a,b) + A(x - a) + B(y - b) + R(x,y) }{ g(a,b) + C(x - a) + D(y - b) + S(x,y) }
　　　　　= f(a,b)g(a,b) + { Ag(a,b) + Cf(a,b) } + { Bg(a,b) + Df(a,b) }(y - b) + T(x,y),
ただし T(x,y) = AC(x - a)^2 + (AD+BC)(x - a)(y - b) + BD(y - b)^2
　　　　　　+ { g(a,b) + C(x - a) + D(y - b) }R(x,y)
　　　　　　+ { f(a,b) + A(x - a) + B(y - b) }S(x,y)
　　　　　　+ R(x,y)S(x,y)
と書ける。
lim[(x,y)→(a,b)] { AC(x-a)^2 + (AD+BC)(x-a)(y-b) + BD(y-b)^2 }/√((x-a)^2+(y-b)^2)
　= AC lim[(x,y)→(a,b)] { (x-a)^2 }/√((x-a)^2+(y-b)^2)
　+ (AD+BC) lim[(x,y)→(a,b)] { (x-a)(y-b) }/√((x-a)^2+(y-b)^2)
　+ BD lim[(x,y)→(a,b)] { (y-b)^2 }/√((x-a)^2+(y-b)^2)
　= 0 + 0 + 0,
lim[(x,y)→(a,b)] { g(a,b) + C(x - a) + D(y - b) }R(x,y)
　= lim[(x,y)→(a,b)] { (g(a,b) + C(x - a) + D(y - b))√((x-a)^2+(y-b)^2) }・R(x,y)/√((x-a)^2+(y-b)^2)
　= 0・0,
lim[(x,y)→(a,b)] { f(a,b) + A(x - a) + B(y - b) }S(x,y)
　= lim[(x,y)→(a,b)] { (f(a,b) + A(x - a) + B(y - b))√((x-a)^2+(y-b)^2) }・S(x,y)/√((x-a)^2+(y-b)^2)
　= 0・0,
lim[(x,y)→(a,b)] R(x,y)S(x,y)
　= { R(x,y)/√((x-a)^2+(y-b)^2) }・{ S(x,y)/√((x-a)^2+(y-b)^2) }・√((x-a)^2+(y-b)^2)
　= 0・0・0
により、
lim[(x,y)→(a,b)] T(x,y)/√((x-a)^2+(y-b)^2) = 0.
この式は、f(x,y)g(x,y) が全微分可能であることを表している。